广东省汕头市2020届高三理数第一次模拟试卷

更新时间：2020-06-29 浏览次数：178 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x| $\text{[math]}$ 0}，则A∩B＝（）

A . {x|2≤x≤4} B . {x|2＜x≤4} C . {x|1≤x≤2} D . {x|1≤x＜2}

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2. 下列各式的运算结果虚部为1的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则y﹣2x的最大值是（）

A . 9 B . 12 C . 3 D . 6

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4. 近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）

①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平

A . ①②③ B . ②③ C . ①② D . ③

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5. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，f（2）＝0，则不等式f（log₂x）＞0的解集为（）

A . （ $\text{[math]}$ ，4） B . （2，2） C . （ $\text{[math]}$ ，+∞） D . （4，+∞）

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ 的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则 $\text{[math]}$ 的单调递减区间是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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7. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（）

A . $\text{[math]}$ 立方尺 B . $\text{[math]}$ 立方尺 C . $\text{[math]}$ 立方尺 D . $\text{[math]}$ 立方尺

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8. 已知四边形ABCD为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M为CD中点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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9. △ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 2 $\text{[math]}$

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10. 在（x²﹣x﹣2）⁵的展开式中，x³的系数为（）

A . ﹣40 B . 160 C . 120 D . 200

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11. 体积为 $\text{[math]}$ 的三棱锥A﹣BCD中，BC＝AC＝BD＝AD＝3，CD＝2 $\text{[math]}$ ，AB＜2 $\text{[math]}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A . 20π B . $\text{[math]}$ π C . $\text{[math]}$ π D . $\text{[math]}$ π

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12. 若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），其坐标满足条件：|x₁x₂+y₁y₂| $\text{[math]}$ 的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：
①f（x）＝x $\text{[math]}$ （x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜3）；③f（x）＝cosx；④f（x）＝x²﹣1.其中为“柯西函数”的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 曲线f（x）＝x²e^﹣x在点（1，f（1））处的切线方程为.

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14. 若双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是.

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15. “新冠肺炎”爆发后，某医院由甲、乙、丙、丁、戊5位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情.五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，当时只有3个安检口开通，且没有其他旅客进行安检.5位医生分别从3个安检口进行安检，每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为.

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16. 直线l：x﹣ty+1＝0（t＞0）和抛物线C：y²＝4x相交于不同两点A、B，设AB的中点为M，抛物线C的焦点为F，以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足|MN| $\text{[math]}$ |NF|，则直线l的方程为.

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三、解答题

17. 已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n+2＝2a_n ， n∈N*.
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）令b_n $\text{[math]}$ ，设数列{b_n}的前项和为T_n ，若T_n $\text{[math]}$ ，求n的最小值.
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18. 在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA $\text{[math]}$ AB．
1. （1）证明：BC⊥PA；
2. （2）若PA＝PC＝AC，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.
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19. 为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值 $\text{[math]}$ ，标准差 $\text{[math]}$ ，以频率值作为概率的估计值.

（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行判定（ $\text{[math]}$ 表示相应事件的概率）：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ .

判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备 $\text{[math]}$ 的性能等级.

（Ⅱ）将直径尺寸在 $\text{[math]}$ 之外的零件认定为是“次品”.

①从设备 $\text{[math]}$ 的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ；

②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数Z的数学期望 $\text{[math]}$ .

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20. 已知椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），以坐标原点O为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x﹣y $\text{[math]}$ 0的相切.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）经过点F的直线l₁ ， l₂分别交椭圆C于A、B及C、D四点，且l₁⊥l₂ ，探究：是否存在常数λ，使 $\text{[math]}$ 恒成立.
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21. 已知函数f（x） $\text{[math]}$ x²+ax+lnx（a∈R）
1. （1）讨论函数f（x）的单调性；
2. （2）若f（x）存在两个极值点x₁ ， x₂且|x₁﹣x₂| $\text{[math]}$ ，求|f（x₁）﹣f（x₂）|的最大值.
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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数，已知直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
1. （1）求曲线C以及直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线C分别交于O、A两点，直线 $\text{[math]}$ 与曲线C分别交于O、B两点，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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23. 设函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ．
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