吉林省长春市2020届高三理数质量监测试卷（二)

更新时间：2020-06-29 浏览次数：200 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0或2 B . 0 C . 1或2 D . 1

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3. 下列与函数 $\text{[math]}$ 定义域和单调性都相同的函数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则此数列中一定为0的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . －1 B . 2 C . 0或－1 D . 2或－1

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6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）

A . 甲的数据分析素养高于乙 B . 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C . 乙的六大素养中逻辑推理最差 D . 乙的六大素养整体平均水平优于甲

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7. 命题p：存在实数 $\text{[math]}$ ，对任意实数x，使得 $\text{[math]}$ 恒成立； $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为奇函数，则下列命题是真命题的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 边上的高为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遗到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）

A . 6种 B . 12种 C . 24种 D . 36种

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10. 在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E，F，G分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，给出下列命题：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 成角为 $\text{[math]}$ .正确命题的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C的准线相切于点A， $\text{[math]}$ ，则抛物线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 若 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）在区间 $\text{[math]}$ 上的值小于0恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、双空题

16. 三棱锥 $\text{[math]}$ 的顶点都在同一个球面上，满足 $\text{[math]}$ 过球心O，且 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为；三棱锥 $\text{[math]}$ 体积最大时，平面 $\text{[math]}$ 截球所得的截面圆的面积为.

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四、解答题

17. 2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ）

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列 $\text{[math]}$ 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

	擅长	不擅长	合计
男性		30
女性			50
合计			100

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18. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M，N分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，G为棱 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求线段 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，并求出数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点 $\text{[math]}$ 为椭圆上异于A、B的点，且直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求C的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为Q，过坐标原点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交椭圆于点M，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .（参考数据： $\text{[math]}$ ）
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若对任意的 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求最大的整数 $\text{[math]}$ .
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22. 已知曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）过坐标原点 $\text{[math]}$ 作直线交曲线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 异于 $\text{[math]}$ ），交曲线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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