陕西省榆林市2020届高三下学期理数3月线上高考模拟测试试卷

更新时间：2020-04-30 浏览次数：192 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）对应向量 $\text{[math]}$ （O为坐标原点），设 $\text{[math]}$ ，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式： $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 16

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3. 为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）

A . 甲的数据分析素养优于乙 B . 乙的数据分析素养优于数学建模素养 C . 甲的六大素养整体水平优于乙 D . 甲的六大素养中数学运算最强

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. 在 $\text{[math]}$ 中，点D是线段BC上任意一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . -2 C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. 设椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右顶点为A ，右焦点为F ， B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M ，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 时，如图：

记 $\text{[math]}$ 为每个序列中最后一列数之和，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . 147 B . 294 C . 882 D . 1764

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 3

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9. 已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 8 C . 9 D . 27

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10. 要得到函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 的图像，只需将 $\text{[math]}$ 的图像（）

A . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍 C . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍 D . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

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11. 已知平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是正方形，在正方形 $\text{[math]}$ 内部有一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角相等，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . 16 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都相切，则不等式组 $\text{[math]}$ 所确定的平面区域在 $\text{[math]}$ 内的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 设 $\text{[math]}$ 为互不相等的正实数，随机变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的分布列如下表，若记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的方差，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．（填>，<，=）

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

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14. $\text{[math]}$ 的三个内角A ， B ， C所对应的边分别为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 若双曲线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的顶点到渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值.

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16. 若奇函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为R上的单调函数，对任意实数 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 为公差为d的等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依次成等比数列， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ .
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18. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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19. 已知动圆过定点 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 相切，动圆圆心的轨迹为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于两点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 的切线，两切线的交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于两点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：点 $\text{[math]}$ 始终在直线 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求四边形 $\text{[math]}$ 的面积的最小值．
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20. 2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.

为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

附：对于一组数据（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考数据：其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
5.5	390	19	385	7640	31525	154700	100	150	225	338	507

（1）根据散点图判断， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：

时间	1月25日	1月26日	1月27日	1月28日	1月29日
累计确诊人数的真实数据	1975	2744	4515	5974	7111

（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？

（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ．
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22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的极坐标方程
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点A ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点B ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的最小值为m.
1. （1）求m的值；
2. （2）是否存在实数a ， b ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ？并说明理由.
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