安徽省皖江联盟2019-2020学年高三上学期理数12月联考...

更新时间：2020-05-22 浏览次数：148 类型：月考试卷

一、单选题

1. 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ 的模等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知全集为 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上可导，则“函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有最小值”是“存在 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是 $\text{[math]}$ .公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率 $\text{[math]}$ 和约率 $\text{[math]}$ 。大约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.在这4个圆周率的近似值中，最接近真实值的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项为 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则正数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图所示的程序输出的结果为95040，则判断框中应填（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的图象是（）

A . B . C . D .

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9. 矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 矩形折起，使面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 的外接球的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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11. 点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的一个动点，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是坐标原点，① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的面积为定值；③曲线 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 是等边三角形；④曲线 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，其中真命题的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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12. 若平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 若锐角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

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14. 黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在 $\text{[math]}$ 上，其定义为： $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的一个截面经过顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 及棱 $\text{[math]}$ 上－点 $\text{[math]}$ ，其将正方体分成体积比为 $\text{[math]}$ 的两部分，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. 等腰 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，三角形面积 $\text{[math]}$ 等于2，则腰 $\text{[math]}$ 上中线 $\text{[math]}$ 的最小值等于.

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三、解答题

17. 已知正数数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）令 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ），数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都和平面 $\text{[math]}$ 垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值。
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19. $\text{[math]}$ 内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象有两个不同的交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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21. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明 $\text{[math]}$ 恒成立；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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