2017年天津市南开区高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

更新时间：2017-08-26 浏览次数：595 类型：高考模拟

一、选择题

1. 设复数z₁ ， z₂在复平面内的对应点关于虚轴对称，z₁=1+2i，i为虚数单位，则z₁z₂=（）

A . 1﹣2i B . 5i C . ﹣5 D . 5

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2. 函数f（x）=2^x+x³﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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3. 若x，y∈R，则“x²＞y²”是“x＞y”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x的取值范围是（）

A . （4，10] B . （2，+∞） C . （2，4] D . （4，+∞）

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5. 在区间 $\text{[math]}$ 上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）

A . 24﹣π B . 24﹣3π C . 24+π D . 24﹣2π

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7. 已知等差数列{a_n}的前n项和为s_n ，且S₂=10，S₅=55，则过点P（n，a_n），Q（n+2，a_n₊₂）（n∈N^*）的直线的斜率为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . ﹣4 D . ﹣ $\text{[math]}$

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8. 已知函数f（x）=﹣ $\text{[math]}$ ，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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二、填空题

9. 某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m﹣n|的值为．

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10. （x﹣ $\text{[math]}$ ）ⁿ的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是．

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11. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |=2，（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为．

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12. 如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且 $\text{[math]}$ ，则sinC的值为．

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13. 过点（0，3b）的直线l与双曲线C： $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是．

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14. 若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则2 $\text{[math]}$ ﹣4a²﹣b²的最大值是．

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三、解答题

15. 设函数f（x）= $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+sin²x．
1. （1）求函数f（x）的最小周期；
2. （2）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+ $\text{[math]}$ ）=g（x），且当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，g（x）= $\text{[math]}$ ﹣f（x）．求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．
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16. 某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为 $\text{[math]}$ ：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为 $\text{[math]}$ ．每台仪器各项费用如表：
项目
生产成本
检验费/次
调试费
出厂价
金额（元）
1000
100
200
3000
（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；
（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价﹣生产成本﹣检验费﹣调试费）；
（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．

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17.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2 $\text{[math]}$ 的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM
（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣A的余弦值．

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18. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且2S_n=1﹣a_n（n∈N^*）．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n= $\text{[math]}$ ，c_n= $\text{[math]}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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19. 已知x=1是函数f（x）=mx³﹣3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．

（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

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20.
已知椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点（2， $\text{[math]}$ ）．
1. （1）求椭圆的标准方程；
2. （2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k_AC•k_BD=﹣ $\text{[math]}$ ，
  （i）求 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最值；
  （ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．
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