2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷

更新时间：2017-04-28 浏览次数：1138 类型：高考模拟

一、<b >填空题：</b>

1. 函数f（x）=ln $\text{[math]}$ 的定义域为．

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2. 若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位）， $\text{[math]}$ 是z的共轭复数，则 $\text{[math]}$ =．

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3. 某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．

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4. 下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：
不喜欢戏剧
喜欢戏剧
男性青年观众
40
10
女性青年观众
40
60
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为．

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5. 根据如图所示的伪代码，输出S的值为．

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6. 记公比为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ．若a₁=1，S₄﹣5S₂=0，则S₅的值为．

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7. 将函数f（x）=sinx的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣ $\text{[math]}$ ，则线段PF的长为．

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9. 若sin（α﹣ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，α∈（0， $\text{[math]}$ ），则cosα的值为．

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10. α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（填上所有正确命题的序号）．

①若α∥β，m⊂α，则m∥β；
②若m∥α，n⊂α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．

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11. 在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：kx﹣y+2=0与直线l₂：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．

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12. 若函数f（x）=x²﹣mcosx+m²+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．

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13. 已知平面向量 $\text{[math]}$ =（1，2）， $\text{[math]}$ =（﹣2，2），则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. 已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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二、<b >解答题：</b>

15. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，
DC=2．
1. （1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
2. （2）若∠ABC= $\text{[math]}$ ，求△ADC的面积．
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16. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
1. （1）求证：CD⊥AP；
2. （2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．
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17. 在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
1. （1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；
2. （2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
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18.
如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： $\text{[math]}$ =1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）记直线l与y轴的交点为P．若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求直线l的斜率k．
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19. 已知函数f （x）=e^x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
1. （1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．
  ①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；
  ②若函数F（x）= $\text{[math]}$ 的值域为R，求实数m的取值范围；
2. （2）若存在实数x₁ ， x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=f（x₂），且|x₁﹣x₂|≥1，求证：e﹣1≤a≤e²﹣e．
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20. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，数列{b_n}，{c_n}满足（n+1）b_n=a_n₊₁﹣ $\text{[math]}$ ，（n+2）c_n= $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ，其中n∈N*．
1. （1）若数列{a_n}是公差为2的等差数列，求数列{c_n}的通项公式；
2. （2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b_n≤λ≤c_n ，求证：数列{a_n}是等差数列．
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21. 如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．
1. （1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；
2. （2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．
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22. 设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A= $\text{[math]}$ 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l： $\text{[math]}$ （t为参数），与曲线C： $\text{[math]}$ （k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．

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24. 已知a≠b，求证：a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）

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25. 如图，在直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD为菱形，A₁A=AB=2，∠ABC= $\text{[math]}$ ，E，F分别是BC，A₁C的中点．
1. （1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
2. （2）点M在线段A₁D上， $\text{[math]}$ =λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
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26. 现有 $\text{[math]}$ （n≥2，n∈N^*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：
设M_k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M₁＜M₂＜…＜M_n的概率为p_n ．
1. （1）求p₂的值；
2. （2）证明：p_n＞ $\text{[math]}$ ．
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