2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（理科）

更新时间：2017-04-28 浏览次数：674 类型：高考模拟

一、选择题：

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，C=A∩B，则C的子集的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 4

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2. 复数z满足 $\text{[math]}$ （1﹣i）=|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（）

A . $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . 1 D . 0

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3. 设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（）

A . 若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B . 若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C . 若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D . 若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

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4. 给出下列四个结论：

①已知X服从正态分布N（0，σ²），且P（﹣2≤X≤2）=0.6，则P（X＞2）=0.2；
②若命题 $\text{[math]}$ ，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x²﹣x﹣1≥0；
③已知直线l₁：ax+3y﹣1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是 $\text{[math]}$ ．
其中正确的结论的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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5. 在△ABC中， $\text{[math]}$ ，则tanC的值是（）

A . 1 B . ﹣1 C . 2 D . ﹣2

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6.
如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）

A . 0 B . 5 C . 45 D . 90

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7. 已知z=2x+y，其中实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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8. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x﹣ $\text{[math]}$ ）=f（x+ $\text{[math]}$ ）恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的解析式为（）

A . |x﹣2| B . |x+4| C . 3﹣|x+1| D . 2+|x+1|

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9. 将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0， $\text{[math]}$ ]和[2a， $\text{[math]}$ ]上均单调递增，则实数a的取值范围是（）

A . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] B . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] C . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] D . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]

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10. 已知F₂、F₁是双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F₂关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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11. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）

A . π B . 3π C . 4π D . 6π

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12.
中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：

①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；
②函数 $\text{[math]}$ 可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．
其中正确的命题是（）

A . ①③ B . ①③④ C . ②③ D . ①④

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二、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =．

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14. （2x²+x﹣1）⁵的展开式中，x³的系数为．

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15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S= $\text{[math]}$ c，则ab的最小值为．

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16. 椭圆C： $\text{[math]}$ 的上、下顶点分别为A₁、A₂ ，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是．

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三、解答题

17. 观察下列三角形数表：
假设第n行的第二个数为 $\text{[math]}$ ，
1. （1）归纳出a_n₊₁与a_n的关系式，并求出a_n的通项公式；
2. （2）设a_nb_n=1（n≥2），求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．
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18. 如图所示的几何体中，ABC﹣A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
1. （1）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
2. （2）若CD=2，AA₁=λAC，二面角A﹣C₁D﹣C的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥C₁﹣A₁CD的体积．
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19. 为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
参考公式：相关系数 $\text{[math]}$ ，
回归直线方程是： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
2. （2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：
  学生编号
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  数学分数x
  60
  65
  70
  75
  80
  85
  90
  95
  物理分数y
  72
  77
  80
  84
  88
  90
  93
  95
  化学分数z
  67
  72
  76
  80
  84
  87
  90
  92
  ①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
  ②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．
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20.
如图，抛物线C：y²=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．
1. （1）求抛物线C的方程及准线l的方程；
2. （2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k₁ ， k₂ ， k₃ ，问是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．
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21. 已知函数f（x）=（a﹣bx³）e^x﹣ $\text{[math]}$ ，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．
1. （1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
2. （2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C₁ ，求曲线C₁上的点到直线l的距离的最小值．
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23. 设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．
1. （1）求f（x）≤x+2的解集；
2. （2）若不等式f（x）≥ $\text{[math]}$ 对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．
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