2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第二章《二次...

更新时间：2019-03-25 浏览次数：410 类型：单元试卷

一、选择题

1. 抛物线y=3（x﹣2）²+5的顶点坐标是（）

A . （﹣2，5） B . （﹣2，﹣5） C . （2，5） D . （2，﹣5）

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2. 如图，二次函数y=ax²+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）

A . B . C . D .

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3. (2018·广安) 抛物线y=（x﹣2）²﹣1可以由抛物线y=x²平移而得到，下列平移正确的是（）

A . 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B . 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C . 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D . 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度

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4. (2018·枣庄) 如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）

A . b²＜4ac B . ac＞0 C . 2a﹣b=0 D . a﹣b+c=0

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5. (2018·河北) 对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）

A . 甲的结果正确 B . 乙的结果正确 C . 甲、乙的结果合在一起才正确 D . 甲、乙的结果合在一起也不正确

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6. 已知二次函数y=﹣（x﹣h）²（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）

A . 3或6 B . 1或6 C . 1或3 D . 4或6

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7. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b²＞（a+c）²；④点（﹣3，y₁），（1，y₂）都在抛物线上，则有y₁＞y₂ ．其中正确的结论有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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8. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：① $\text{[math]}$ =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）

A . 19cm² B . 16cm² C . 15cm² D . 12cm²

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10. (2018·连云港) 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t²＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）

A . 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B . 点火后24s火箭落于地面 C . 点火后10s的升空高度为139m D . 火箭升空的最大高度为145m

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11. 如图，抛物线y=﹣x²+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x₁ ， y₁）和Q（x₂ ， y₂），若x₁＜1＜x₂ ，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6 $\text{[math]}$ ．其中真命题的序号是（）

A . ① B . ② C . ③ D . ④

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12. (2018·大庆) 如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y₁），若点D（x₂ ， y₂）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax²+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x₂≤4，则0≤y₂≤5a；③若y₂＞y₁ ，则x₂＞4；④一元二次方程cx²+bx+a=0的两个根为﹣1和 $\text{[math]}$ 其中正确结论的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 已知二次函数y=x² ，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．

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14. (2017九上·赣州开学考) 如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为．

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15. 如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x²+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为．

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16. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．

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17. 如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax²+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax²+bx+c的解集是．

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax²（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．

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三、解答题

19. 如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c经过B、D两点．
1. （1）求二次函数的解析式；
2. （2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．
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20. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价x（元）

…

30

40

50

…

每天的销售量y（个）

100

80

60

…
1. （1）求y与x之间的函数表达式；
2. （2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
3. （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
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21. 如图，抛物线y=ax²+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．
1. （1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；
2. （2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
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22. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y= $\text{[math]}$ x²+bx﹣ $\text{[math]}$ 的图象经过点C．
1. （1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a（x﹣h）²+k的形式；
2. （2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
3. （3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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23. 如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
3. （3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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24. 在平面直角坐标系中，直线y= $\text{[math]}$ x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y= $\text{[math]}$ x²+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
1. （1）求二次函数的表达式；
2. （2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
3. （3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
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