2017高考数学备考复习（理科）专题十二：空间向量与立体几何

更新时间：2017-02-10 浏览次数：756 类型：一轮复习

一、单选题

1. 设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（　　）

A . 2 B . -4 C . 4 D . -2

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2. 已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为 $\text{[math]}$ 的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ ， D，E分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点，点E在平面ABD上的射影是 $\text{[math]}$ 的重心G．则 $\text{[math]}$ 与平面ABD所成角的余弦值（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5.
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为 $\text{[math]}$ 时，AE＝(　　)

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2－ $\text{[math]}$ D . 2－ $\text{[math]}$

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6.
如图，已知长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7.
已知E，F分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（）
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； ②若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$
③ 若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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9.
如图，平面ABCD $\text{[math]}$ 平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且 $\text{[math]}$ ， G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（　　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，斜线段AB与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为60 $\text{[math]}$ ， B为斜足，平面 $\text{[math]}$ 上的动点P满足 $\text{[math]}$ PAB=30 $\text{[math]}$ ，则点P的轨迹是（）

A . 直线 B . 抛物线 C . 椭圆 D . 双曲线的一支

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11.
如图，设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则直线B₁C与平面AB₁D₁所成的角是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . arccos $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . arccos $\text{[math]}$

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12. 若直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面α的法向量为 $\text{[math]}$ ，能使l∥α的是（　　）

A . $\text{[math]}$ =（1，0，0）， $\text{[math]}$ =（﹣2，0，0） B . $\text{[math]}$ =（1，3，5）， $\text{[math]}$ =（1，0，1） C . $\text{[math]}$ =（0，2，1）， $\text{[math]}$ =（﹣1，0，﹣1） D . $\text{[math]}$ =（1，﹣1，3）， $\text{[math]}$ =（0，3，1）

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13. (2015高二上·承德期末)
如图所示的长方体中，AB=2 $\text{[math]}$ ，AD= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，E、F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线DE、BF所成角的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

14. 已知向量 $\text{[math]}$ =（1，1，0）， $\text{[math]}$ =（﹣1，0，2），且k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 互相垂直，则k值是

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15.
如图，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各棱长相等，点D是棱CC₁的中点，则AA₁与面ABD所成角的大小是

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16. 已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角θ的大小是

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17. 已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是

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18. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BC﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ABC是等边三角形；
③AB与CD所成的角90°；④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是 $\text{[math]}$ ；
其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

19.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA=AD=3，CD= $\text{[math]}$
①求证：AF∥平面PCE
②求证：平面PCE⊥平面PCD
③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．

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20.
如图，在四棱锥A-EFCB中， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面AEF $\text{[math]}$ 平面EFCB， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为EF的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角F-AE-B的余弦值；

（Ⅲ）若BE $\text{[math]}$ 平面AOC，求a的值．

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21.
如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.

(Ⅰ)求证：BE//平面ADE ；

(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

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22.
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

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四、综合题

23. (2012·北京) 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
1. （1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
2. （2）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；
3. （3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由．
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24. (2012·天津理) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
1. （1）证明：PC⊥AD；
2. （2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；
3. （3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
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25. (2015高二上·安庆期末) 在边长是2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
1. （1）求EF的长
2. （2）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
3. （3）证明：EF⊥平面A₁CD．
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试卷信息

小学

初中

高中

2017高考数学备考复习（理科）专题十二：空间向量与立体几何

副标题：

*注意事项：

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