国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同

1. (2023·长春模拟) 国学小组有编号为1，2，3，…， $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为 $\text{[math]}$ 、答对第二题的概率为 $\text{[math]}$ ，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第 $\text{[math]}$ 号同学未答对第一题，则第 $\text{[math]}$ 轮比赛失败，由第 $\text{[math]}$ 号同学继继续比赛；③若第 $\text{[math]}$ 号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第 $\text{[math]}$ 轮结枣；若该生未答对第二题，则第 $\text{[math]}$ 轮比赛失败，由第 $\text{[math]}$ 号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第 $\text{[math]}$ 轮，则不管第 $\text{[math]}$ 号同学答题情况，比赛结束．
1. （1）令随机变量 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 名同学在第 $\text{[math]}$ 轮比赛结束，当 $\text{[math]}$ 时，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列；
3. （2）若把比赛规则③改为：若第 $\text{[math]}$ 号同学未答对第二题，则第 $\text{[math]}$ 轮比赛失败，第 $\text{[math]}$ 号同学重新从第一题开始作答．令随机变量 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 名挑战者在第 $\text{[math]}$ 轮比赛结束．
  ①求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列；
  ②证明： $\text{[math]}$ 单调递增，且小于3．

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