如图，已知，，为的直径，斜边交于点，平分，于点，的延长线与交于点 .

1. (2021·三台模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，斜边 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 切线；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

能力提升真题演练换一批

1. (2021·鞍山) 如图，AB为 $\text{[math]}$ 的直径，C为 $\text{[math]}$ 上一点，D为AB上一点， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 交CD的延长线于点E ， CE交 $\text{[math]}$ 于点G ，连接AC ， AG ，在EA的延长线上取点F ，使 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：CF是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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2. (2022九下·南宁模拟) 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 $\text{[math]}$ 与手臂 $\text{[math]}$ 始终在同一直线上，枪身 $\text{[math]}$ 与额头保持垂直量得胳膊 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，肘关节 $\text{[math]}$ 与枪身端点 $\text{[math]}$ 之间的水平宽度为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ 的长度），枪身 $\text{[math]}$ .

图1
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）测温时规定枪身端点 $\text{[math]}$ 与额头距离范围为 $\text{[math]}$ .在图2中，若测得 $\text{[math]}$ ，小红与测温员之间距离为 $\text{[math]}$ 问此时枪身端点 $\text{[math]}$ 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由.（结果保留小数点后一位）
  （参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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3. (2023·临潼模拟)
1. （1）请在图中过点A画一条直线，将 $\text{[math]}$ 分成面积相等的两部分；
2. （2）如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，请过顶点A画两条直线将平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积三等分，并说明理由；
3. （3）如图，农博园有一块四边形 $\text{[math]}$ 空地，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为边 $\text{[math]}$ 的中点.春天到了，百花齐放，农博园设计部门想在这片空地上种三种不同的花卉，要求三种花卉的种植面积相等，现规划，从入口P处修两条笔直的小路（小路的面积忽略不计）方便游客赏花，两条小路将这块地的面积三等分，请通过计算、画图说明设计部门能否实现规划，若能，请确定小路尽头的位置；若不能，请说明理由.
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1. (2022·百色) 如图，AB为圆的直径， C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD .
1. （1）求证：MC是⊙O的切线：
2. （2）若 AB＝BM＝4，求 tan∠MAC的值
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2. (2022·河北) 如图，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3， $\text{[math]}$ ，DH⊥BC于点H ．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：△PQM≌△CHD；
2. （2） △PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
  ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
  
  ②如图2，点K在BH上，且 $\text{[math]}$ ．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
  
  ③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ ， PM分别交BC于点E ， F ，若BE＝d ，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
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3. (2021·绵阳) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直角 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 图象上， $\text{[math]}$ 轴，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 纵坐标为2，点 $\text{[math]}$ 横坐标为1， $\text{[math]}$ .
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标及 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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