如图，一倾角为的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观

1. (2021·全国甲卷) 如图，一倾角为 $\text{[math]}$ 的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为 $\text{[math]}$ ，重力加速度大小为g。
1. （1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
3. （2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
5. （3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？

能力提升真题演练换一批

1. (2022·东城模拟) 人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。
1. （1）情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿 $\text{[math]}$ 方向以速度v做匀速直线运动，质点2在 $\text{[math]}$ 平面内以角速度 $\text{[math]}$ 做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如乙图所示。质点3在完成一个圆运动的时间内，沿 $\text{[math]}$ 方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距” $\text{[math]}$ ；
2. （2）情境2：如图2所示为某磁聚焦原理的示意图，沿 $\text{[math]}$ 方向存在匀强磁场B，一质量为m、电荷量为q、初速度为 $\text{[math]}$ 的带正电的粒子，沿与 $\text{[math]}$ 夹角为 $\text{[math]}$ 的方向入射，不计带电粒子的重力。
  a．请描述带电粒子在 $\text{[math]}$ 方向和垂直 $\text{[math]}$ 方向的平面内分别做什么运动；
  
  b．求带电粒子轨迹的“螺距” $\text{[math]}$ 。
3. （3）情境3：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤回到地球。登月前，嫦娥五号在距离月球表面高为h处绕月球做匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直，如图3所示。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，且 $\text{[math]}$ ，地球质量为 $\text{[math]}$ ，月球质量为 $\text{[math]}$ ，嫦娥五号质量为 $\text{[math]}$ ，引力常量为G。求嫦娥五号轨迹的“螺距” $\text{[math]}$ 。
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2. (2023·上海模拟) 某兴趣小组设计了一个游戏装置，其简化模型如图所示，斜面轨道AB长L=2m，倾角 $\text{[math]}$ 37°，与小球间动摩擦因数μ=0.5， BC为光滑水平轨道： CDEFG轨道竖直放置，由4个半径R=0.2m的四分之一光滑圆弧轨道组成，D点与F点为竖直连接点，当小球在圆弧轨道上运动时，轨道与小球间存在沿半径方向（指向圆心）、大小为F=4N的特殊引力。上述各部分轨道平滑连接，连接处无能量损失，一质量为m=0.1kg的小球从斜面项端A点以一定的初速度沿斜面滑下，不计空气阻力。
1. （1）若小球以v=2m/s的初速度从A点滑下时
  ①求小球到达斜面底端B点的速度v_B
  ②求小球刚过D点瞬间对轨道的压力F_N
2. （2）要使小球能沿轨道运动，且能够到达圆弧轨道最高点E，求小球在A点初速度v_A的取值范围。
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3. (2023·佛山模拟) 在2022年第24届北京冬奥会上，17岁小将苏翊明获得了单板滑雪男子大跳台冠军。如图，滑雪运动员由静止从助滑坡道上 $\text{[math]}$ 点自由滑下，经 $\text{[math]}$ 点以 $\text{[math]}$ 的速度水平飞出跳台，在坡道 $\text{[math]}$ 点着陆。若 $\text{[math]}$ 高度差 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 高度差 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ，忽略空气阻力，请分析说明：
1. （1）该运动员由 $\text{[math]}$ 滑至 $\text{[math]}$ 的过程中机械能是否守恒？
2. （2）该运动员在空中飞行的水平距离 $\text{[math]}$ 是多少？
3. （3）落点 $\text{[math]}$ 处的坡面与水平的夹角 $\text{[math]}$ 的正切 $\text{[math]}$ 接近什么值时，运动员着陆时坡面对他的冲击力最小？
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1. (2020·新高考Ⅰ) 单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型： U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以v_M=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s² ， sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30。求：
1. （1）运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
2. （2） M、N之间的距离L。
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2. (2021·湖南) 如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为 $\text{[math]}$ 的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道 $\text{[math]}$ 。质量为 $\text{[math]}$ 的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为 $\text{[math]}$ 。以水平轨道末端 $\text{[math]}$ 点为坐标原点建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴的正方向水平向右， $\text{[math]}$ 轴的正方向竖直向下，弧形轨道 $\text{[math]}$ 端坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 端在 $\text{[math]}$ 轴上。重力加速度为 $\text{[math]}$ 。
1. （1）若A从倾斜轨道上距 $\text{[math]}$ 轴高度为 $\text{[math]}$ 的位置由静止开始下滑，求 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 点时的速度大小；
2. （2）若A从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过 $\text{[math]}$ 点落在弧形轨道 $\text{[math]}$ 上的动能均相同，求 $\text{[math]}$ 的曲线方程；
3. （3）将质量为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数且 $\text{[math]}$ ）的小物块 $\text{[math]}$ 置于 $\text{[math]}$ 点，A沿倾斜轨道由静止开始下滑，与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），要使A和B均能落在弧形轨道上，且A落在B落点的右侧，求A下滑的初始位置距 $\text{[math]}$ 轴高度的取值范围。
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3. (2020·北京) 无人机在距离水平地面高度 $\text{[math]}$ 处，以速度 $\text{[math]}$ 水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为 $\text{[math]}$ 。
1. （1）求包裹释放点到落地点的水平距离 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求包裹落地时的速度大小 $\text{[math]}$ ；
3. （3）以释放点为坐标原点，初速度方向为 $\text{[math]}$ 轴方向，竖直向下为 $\text{[math]}$ 轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。
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