问题提出如图①，内接于半径为4的，是的中位线，则的最大值是；问题探究如图②，在等腰中，，，边上的中线，求等腰外接圆的半径；问题解决如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为的部件，已知的部件要满足，边上的中线，且边

1. (2021九上·富县期末)
1. （1）问题提出
  如图①， $\text{[math]}$ 内接于半径为4的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线，则 $\text{[math]}$ 的最大值是；
3. （2）问题探究
  如图②，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，求等腰 $\text{[math]}$ 外接圆的半径；
5. （3）问题解决
  如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为 $\text{[math]}$ 的部件，已知 $\text{[math]}$ 的部件要满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，且边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值；若不能，请说明理由.