如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接；若，则的长为（）

1. (2020·自贡) 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是锐角， $\text{[math]}$ 于点E，F是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2022·光明模拟) 下列命题中，是真命题的是（）

A . 三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点 B . 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C . 连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形 D . 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

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2. (2023九上·沁阳模拟) 如图， $\text{[math]}$ 内接圆 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024·万州模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ (　　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2022·吉林模拟) 如图，为了测量河岸 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两地的距离，在与 $\text{[math]}$ 垂直的方向上取点 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两地的距离等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·广州) 如图， $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别相切于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的大小分别为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. (2022·东平模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，则此时 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2022·衢江模拟) 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与BD互相垂直且平分.
1. （1）【推理探究】如图1，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）【类比应用】如图2，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）【拓展延伸】如图3，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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2. (2023·闵行模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ （点D、A在直线 $\text{[math]}$ 的异侧），且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）设点E为边 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 并延长交边 $\text{[math]}$ 于点F，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求边 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
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3. (2021·泰州模拟) 点光源发出的光束呈扇面垂直投射到一个面上，光线在投射面的水平投射线长称为“光带长”.如图1-①，从光源P发射的光束边界与被投射曲面交于点E、F，则曲线EF的长就是该光束在曲面上的“光带长”.
1. （1）如图1-②，在内直径为6 m的圆筒内壁上的点光源呈60°角扇面垂直投射到圆筒内壁上时，“光带长”为m.
2. （2）矩形大厅ABCD的宽AB为20 m，长AD为40 m，四壁都是垂直于地面的平面.在墙面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墙面上，光束边界PE、PF与被投射面相交于点E、F，PF在PE关于点P的逆时针方向上.
  ①如图1-③，若光源P到点A的水平距离为10 m，光束的边界PE与墙面PA的夹角为30°，求此时的“光带长”；
  
  ②如图1-④，若光源P在墙面AD中点处，试判断“光带长”是否变化，并说明理由.
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1. (2022·新疆) 如图，⊙ $\text{[math]}$ 的半径为2，点A，B，C都在⊙ $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 的长为（结果用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示）

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2. (2022·贵港) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点A为圆心、 $\text{[math]}$ 为半径画弧交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积是.

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3. (2022·吉林) 如图，在半径为1的 $\text{[math]}$ 上顺次取点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长度之和为．（结果保留 $\text{[math]}$ ）．

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