如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD于点C，BD平分∠ADC交AC于点E，∠1=∠2.

1. (2020七下·温州期中) 如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD于点C，BD平分∠ADC交AC于点E，∠1=∠2.
1. （1）请完成下面的说理过程.
  ∵BD平分∠ADC（已知）
  
  ∴（角平分线的定义）
  
  ∵∠1=∠2（已知）
  
  ∴
  
  ∴AD∥BC（）
3. （2）若∠BCE=20°，求∠1的度数.

能力提升真题演练换一批

1. (2021七下·渠县期末) 【问题】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系.
1. （1）【探索】有同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 .
2. （2）【延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由.
3. （3）【构造运用】如图3，在某次搜救行动中，甲艇在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，乙艇在O点的南偏东70°的B处，且AO＝BO，接到行动指令后，甲艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，乙艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，甲、乙两艇分别到达E，F处，∠EOF＝70°，试求此时甲、乙两艇之间的距离.
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2. (2021七下·通河期末) 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线交于点 $\text{[math]}$ ．
  ①如图2，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
  
  ②如图3，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右侧时，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你求出 $\text{[math]}$ 的度数．（用含有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示）
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3. (2021七下·绿园期末) 如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ → $\text{[math]}$ → $\text{[math]}$ → $\text{[math]}$ 运动，到点 $\text{[math]}$ 停止；点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度运动6秒，之后以每秒 $\text{[math]}$ 的速度运动，设点 $\text{[math]}$ 运动的时间是 $\text{[math]}$ （秒），点 $\text{[math]}$ 运动的路程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）点 $\text{[math]}$ 共运动秒；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ；
4. （4）当 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 是长方形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值
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1. (2021·衢州) 如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点）， $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 交半圆于点D，连结AD，过点C作 $\text{[math]}$ 交半圆于点E，连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请你一起参与探究函数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 随自变量x变化的规律.

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.

x	…	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	…
$\text{[math]}$	…	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	…
$\text{[math]}$	…	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	…

（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＝.
（2）在图2中画出函数 $\text{[math]}$ 的图象，并结合图象判断函数值 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系.
（3）由（2）知“AC取某值时，有 $\text{[math]}$ ”.如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程.

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2. (2022·内江) 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°.
1. （1）求河的宽度；
2. （2）求古树A、B之间的距离.（结果保留根号）
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3. (2021·呼和浩特) 已知 $\text{[math]}$ 是⊙O的任意一条直径，
1. （1）用图1，求证：⊙O是以直径 $\text{[math]}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；
2. （2）已知⊙O的面积为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于点C ，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为D ，如图2，求证：
  ① $\text{[math]}$ ；
  
  ②改变图2中切点C的位置，使得线段 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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1. (2020七下·温州期中) 如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD于点C，BD平分∠ADC交AC于点E，∠1=∠2.