如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH= ，CH=5 ．

1. (2016九上·西湖期末) 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH= $\text{[math]}$ ，CH=5 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：AH是⊙O的切线；
3. （2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；
5. （3）在（2）的条件下，求EF的长．

能力提升真题演练换一批

1. (2021九上·凤县月考) 如图1，矩形 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，连接 $\text{[math]}$ ，当点P到达A点时，运动停止.
1. （1）求证：在运动过程中，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.
2. （2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形 $\text{[math]}$ 是菱形的情况？若存在，求出此时直线 $\text{[math]}$ 的解析式；若不存在，请说明理由.
3. （3）如图3，在（2）的情况下，直线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点D，使得 $\text{[math]}$ 是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
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2. (2021九上·鼓楼月考) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，请以 $\text{[math]}$ 为边，用尺规作一个 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，并使得点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.（只须作出一个 $\text{[math]}$ ，保留作图痕迹，不写作法）
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3. (2022九上·宿豫开学考) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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1. (2021·金华) 背景：点A在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上， $\text{[math]}$ 轴于点B， $\text{[math]}$ 轴于点C，分别在射线 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 为正方形.如图1，点A在第一象限内，当 $\text{[math]}$ 时，小李测得 $\text{[math]}$ .
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.
1. （1）求k的值.
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了 $\text{[math]}$ 时“Z函数”的图象.
  ①求这个“Z函数”的表达式.
  
  ②补画 $\text{[math]}$ 时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.
  
  ③过点 $\text{[math]}$ 作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.
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2. (2022·龙东) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的三个顶点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）将 $\text{[math]}$ 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到 $\text{[math]}$ ，画出两次平移后的 $\text{[math]}$ ，并写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）画出 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°后得到 $\text{[math]}$ ，并写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，求点 $\text{[math]}$ 旋转到点 $\text{[math]}$ 的过程中所经过的路径长（结果保留 $\text{[math]}$ ）．
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3. (2021·吉林) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与反比例函数 $\text{[math]}$ 在第一象限内的图象相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求反比例函数的解析式；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积．
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