如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.

1. (2020·拱墅模拟) 如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.
1. （1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；
3. （2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝ $\text{[math]}$ ，求AE的长.

能力提升真题演练换一批

1. (2021·义安模拟) 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
1. （1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
2. （2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD₁ ．
  ①求证：BD₁∥CD；
  
  ②若AD₁∥BC．求证：CD²＝2OD•BD．
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2. (2021·三水模拟) 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象交于A、P（﹣ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）两点，点B（ $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ ）与点D关于直线AP对称，连接AB ，作CD∥y轴交直线AP于点C ．
1. （1）求m、n的值和点A的坐标；
2. （2）求sin∠CDB的值；
3. （3）连接AD、BC ，求四边形ABCD的面积．
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3. (2023·惠山模拟) 如图，△ABC中，AB=AC ，点E ， F在边BC上，BE=CF ，点D在AF的延长线上，AD=AC ，
1. （1）求证：△ABE≌△ACF；
2. （2）若∠BAE=30°，则∠ADC=°．
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1. (2022·衡阳) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ （平方单位），点 $\text{[math]}$ 运动时间为 $\text{[math]}$ （秒）.
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式；
4. （4）以线段 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 运动路径的长.
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2. (2022·北部湾) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，BD是它的一条对角线，
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
3. （3）连接BE，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
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3. (2021·吉林) 如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中线，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ．直接写出 $\text{[math]}$ 的长（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的异侧，连接 $\text{[math]}$ ，如图②，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．
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