如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．

1. (2019·郴州) 如图， $\text{[math]}$ 中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2023·乌鲁木齐模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 _ ．

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2. (2021·于洪模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

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3. (2022·泗阳模拟) 如图，在⊙O中，AC $\text{[math]}$ OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数.

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1. (2022·平凉模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，AD是BC边上的高，E，F分别为边AB，AC的中点.当 $\text{[math]}$ 时，BC边上存在一点Q，使 $\text{[math]}$ ，求此时BQ的长.

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2. (2024·黔南模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
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3. (2023·宁乡市模拟) 如图：在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．

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1. (2022·宿迁) 如图，点A在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，以 $\text{[math]}$ 为一边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，其中∠ $\text{[math]}$ =90°， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长的最小值是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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2. (2023·大连) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为菱形的对角线， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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3. (2020·云南) 如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O，E是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积的比等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2023七下·电白期末) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，连接DE．
1. （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由．
2. （2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求线段DE的长．
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2. 如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
1. （1）按小明的思路，求∠APC的度数；
  （问题迁移）
2. （2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
  （问题应用）
3. （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．
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3. (2023八下·榆树期末) 如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连接A、E、C、F．
1. （1）求证：四边形AECF是菱形．
2. （2）若EF＝2，AC＝4，直接写出四边形AECF的周长．
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1. (2022·内江) 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁、S₂、S₃.若正方形EFGH的边长为4，则S₁+S₂+S₃＝.

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2. (2022·南通) 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是．（只需添一个）

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3. (2021·新疆) 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D，E是AB的中点，则DE的长为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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1. (2019·郴州) 如图， 中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．