如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F

1. (2019·凉山) 如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F
1. （1）求证：DF是⊙O的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求AD的长．

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1. (2024·连州模拟) 如图，一次函数y＝﹣kx+1的图象与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象交于点A、B ，点A在第一象限，过点A作AC⊥x轴于点C ， AD⊥y轴于点D ，点B的纵坐标为﹣2，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F ，连接DB、DE ，已知S_△_ADF＝4，AC＝3OF ．
1. （1）求一次函数与反比例函数的解析式；
2. （2）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
3. （3）在x轴上是否存在点P ，使S_△_PBD＝S_△_BDE ．若存在，求出P点坐标：若不存在，请说明理由．
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2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第一象限的拋物线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求拋物线表达式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 在平面内，若 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．
  ①求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②设射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一周，旋转后的三角形记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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3. (2022·五华模拟) 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，点E是CD的中点，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．
1. （1）求证：四边形OCFD是矩形；
2. （2）若四边形ABCD的周长为 $\text{[math]}$ ， △AOB的周长为 $\text{[math]}$ ，求四边形OCFD的面积．
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1. (2021·赤峰) 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为 $\text{[math]}$ ，点N的坐标为 $\text{[math]}$ ，且x₁≠x₁ ， y₂≠y₂ ，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
1. （1）已知点A的坐标为 $\text{[math]}$ ．
  ①若点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，则点A、B的“相关矩形”的周长为 ▲ ；
  
  ②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
2. （2）已知点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，点Q的坐标为 $\text{[math]}$ ，若使函数 $\text{[math]}$ 的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
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2. (2022·无锡) 如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF.

求证：
1. （1） △DOF≌△BOE；
2. （2） DE=BF.
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3. (2021·安徽) 如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E.
1. （1） M是CD的中点，OM等于3，CD=12，求圆O的半径长；
2. （2）点F在CD上，且CE=EF，求证：AF⊥BD.
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1. (2019·凉山) 如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F

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