在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下： ①在大树前的平地上选择一点，测得由点A看树顶端的仰角为35°； ②在点和大树之间选择一点（、、

1. (2019·义乌模拟) 在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：

①在大树前的平地上选择一点 $\text{[math]}$ ，测得由点A看树顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为35°；

②在点 $\text{[math]}$ 和大树之间选择一点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一直线上），测得由点 $\text{[math]}$ 看大树顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为45°；

③量出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的距离为4.5米．

请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到1.0米，参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2022·灞桥模拟) 如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD=BE，∠A＝∠EDF，∠E＋∠CBE=I80°，求证：AC=DF.

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2. (2022·内江模拟) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．

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3. (2022·南海模拟) 如图，AD∥BC，AD=CB．求证：E为AC中点．

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1. (2022·钦州模拟) 根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值.

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2. (2023·金山模拟) 如图，小睿为测量公园的一凉亭 $\text{[math]}$ 的高度，他先在水平地面点E处用高 $\text{[math]}$ 的测角仪 $\text{[math]}$ 测得顶部A的仰角为 $\text{[math]}$ ，然后沿 $\text{[math]}$ 方向向前走 $\text{[math]}$ 到达点G处，在点G处用高 $\text{[math]}$ 的测角仪 $\text{[math]}$ 测得顶部A的仰角为 $\text{[math]}$ ．求凉亭 $\text{[math]}$ 的高度（ $\text{[math]}$ ，结果精确到 $\text{[math]}$ ）．
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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3. (2021·西安模拟) 如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.
求证：OE=OF .

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1. (2022·济宁) 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·青山湖模拟) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分別为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·广元) 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2021七下·赣州期末)
1. （1）同题情境：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的度数．
  小明想到一种方法，但是没有解答完：
  
  如图2，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  $\text{[math]}$ ．
  
  $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．
  
  …………
  
  请你帮助小明完成剩余的解答．
2. （2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
  如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  ①当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点之间时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间有何数量关系？请说明理由．
  
  ②当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点外侧时（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合），请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
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2. (2022·兰溪模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B分别是x轴、y轴正半轴上的点，以OA、OB为边构造矩形OACB.点E为OA上一点，满足BE＝BC.过点C作CF⊥BE，垂足为点F.已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：CA＝CF.
2. （2）如图2，连结CE，当∠BCF＝2∠ECF时，求AE的长.
3. （3）在（2）的条件下，连结AF，在坐标平面内是否存在一点M，使得以点M、A、F为顶点的三角形与△CBE相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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3. (2022九上·晋江期末) 对于平面直角坐标系中的两个图形K₁和K₂ ，给出如下定义：点G为图形K₁上任意一点，点H为K₂图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K₁和K₂的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），边长为 $\text{[math]}$ 的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上.
1. （1）填空：
  ①原点O与线段BC的“近距离”为；
  ②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为；
2. （2）已知抛物线C： $\text{[math]}$ ，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；
3. （3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°<α≤180°），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”.
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1. (2021·宜昌) 如图， $\text{[math]}$ 的顶点是正方形网格的格点，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·盐城) 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为斜边 $\text{[math]}$ 上的中线，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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3. (2021·锦州) 如图，AM∥BN ， ∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（）

A . 35° B . 45° C . 55° D . 65°

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