2015-2016学年北京市昌平区高二上学期期末数学试卷（理...

更新时间：2016-10-19 浏览次数：687 类型：期末考试

一、选择题

1. 抛物线y²=10x的焦点到准线的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . 10

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2. 过点（2，﹣1）且倾斜角为60°的直线方程为（）

A . $\text{[math]}$ ﹣1=0 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ﹣3=0 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ +1=0 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）

A . p∧q B . （￢p）∨q C . （￢p）∧q D . （￢p）∨（￢q）

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4. 已知平面α和直线a，b，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5.
如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是面对角线A₁B与B₁D₁的中点，若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ） B . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ） C . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ） D . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）

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6. (2015高三上·包头期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A . y=±2x B . y=± $\text{[math]}$ x C . y=± $\text{[math]}$ x D . y=± $\text{[math]}$ x

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A . 2+2 $\text{[math]}$ B . 2+ $\text{[math]}$ C . 4+2 $\text{[math]}$ D . 4+ $\text{[math]}$

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8. 从点P（2，﹣1）向圆x²+y²﹣2mx﹣2y+m²=0作切线，当切线长最短时m的值为（）

A . ﹣1 B . 0 C . 1 D . 2

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9. 已知点F₁ ， F₂是椭圆C： $\text{[math]}$ =1的焦点，点M在椭圆C上且满足| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |=2 $\text{[math]}$ ，则△MF₁F₂的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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10. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M是左侧面ADD₁A₁上的一个动点，满足 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的最大值为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 75°

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二、填空题

11. 若命题P：∃x∈R，x²+2x+2＞0，则￢p：．

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12. 已知 $\text{[math]}$ =（1，﹣3，1）， $\text{[math]}$ =（﹣1，1，﹣3），则| $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ |=．

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13. 若直线（1+a）x+y+1=0与直线2x+ay+2=0平行，则a的值为．

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14. 如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，设 AD=AA₁=1，AB=2，P是C₁D₁的中点，则 $\text{[math]}$ 所成角的大小为， $\text{[math]}$ =．

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15. 已知P是抛物线y²=8x上的一点，过点P向其准线作垂线交于点E，定点A（2，5），则|PA|+|PE|的最小值为；此时点P的坐标为．

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16. 已知直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）．若存在实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称曲线C具有性质P．给定下列三条曲线方程：
①y=﹣|x|；
②x²+y²﹣2y=0；
③y=（x+1）² ．
其中，具有性质P的曲线的序号是．

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三、解答题

17. 已知圆C：x²+y²﹣2x﹣4y+1=0．
1. （1）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；
2. （2）若直线l：ax﹣y+4=0与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为 $\text{[math]}$ ，求a的值．
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18. 在直平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁=1．
1. （1）求证：OC₁∥平面AB₁D₁
2. （2）求证：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁
3. （3）求三棱锥A₁﹣AB₁D₁的体积．
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19. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点A（0，﹣1）．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）如果过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求证：△AMN为直角三角形．
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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，过AD的平面分别交PB，PC于M，N两点．
1. （1）求证：MN∥BC；
2. （2）若M，N分别为PB，PC的中点，
  ①求证：PB⊥DN；
  ②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．
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21. 抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）（x₁≠x₂）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|+|BF|=8．
1. （1）求p的值；
2. （2）线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；
3. （3）求直线l的斜率的取值范围．
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