江苏省徐州市2017-2018学年高三上学期数学期中考试试卷

更新时间：2017-12-22 浏览次数：461 类型：期中考试

一、<b >填空题</b>

1. 设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=．

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2. 已知复数z满足（1+i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为．

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3. 函数f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ ）的周期为．

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4. 已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为．

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5. 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率是．

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6. 从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．

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7. 执行如图所示的流程图，则输出的x值为．

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8. 棱长均为2的正四棱锥的体积为．

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9. 已知公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₂=6，若a₁ ， a₃ ， a₇成等比数列，则S₈的值为．

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10. 如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P为 $\text{[math]}$ 上的一点，若 $\text{[math]}$ =2，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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11. 已知函数f（x）=e^x﹣e^﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x²）＞2，则实数x的取值范围为．

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12. 已知实数x，y满足x²+y²=3，|x|≠|y|，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. 已知点P是圆O：x²+y²=4上的动点，点A（4，0），若直线y=kx+1上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，则实数k的取值范围为．

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14. 已知函数f（x）=x³﹣x²﹣2a，若存在x₀∈（﹣∞，a]，使f（x₀）≥0，则实数a的取值范围为．

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二、<b >解答题</b>

15. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcosA．
1. （1）求角B的大小；
2. （2）若b=2 $\text{[math]}$ ，a+c=4，求△ABC的面积．
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16. 如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SC，AB⊥AC，D为BC的中点，E为AC上一点，且DE∥平面SAB．求证：
1. （1）直线AB∥平面SDE；
2. （2）平面ABC⊥平面SDE．
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17. 如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且 $\text{[math]}$ ，设∠BOC=θ．
1. （1）记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；
2. （2）怎样设计才能符合园林局的要求？
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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为 $\text{[math]}$ ，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．
1. （1）求椭圆E的标准方程；
2. （2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
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19. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足S_n=2a_n﹣1，n∈N*．数列{b_n}满足nb_n+1﹣（n+1）b_n=n（n+1），n∈N*，且b₁=1．
1. （1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
2. （2）若c_n=a_n $\text{[math]}$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n ，对任意的n∈N*，都有T_n＜nS_n﹣a，求实数a的取值范围；
3. （3）是否存在正整数m，n使b₁ ， a_m ， b_n（n＞1）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m，n，若不存在，请说明理由．
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20. 已知函数f（x）=（ax﹣1）e^x（a≠0，e是自然对数的底数）．
1. （1）若函数f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围；
2. （2）求函数f（x）的极值；
3. （3）设函数f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．
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21. 如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于B点，过B作圆O的切线交CD于点E，DE= $\text{[math]}$ ．
求证：CA= $\text{[math]}$ ．

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22. 已知矩阵A= $\text{[math]}$ ，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．

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23. 在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．

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24. 设x，y均为正数，且x＞y，求证：2（x﹣y﹣1）+ $\text{[math]}$ ≥1．

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25. 如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA，OB，OC两两垂直，点D，E分别为棱BC，AC的中点，F在棱AO上，且满足OF= $\text{[math]}$ ，已知OA=OC=4，OB=2．
1. （1）求异面直线AD与OC所成角的余弦值；
2. （2）求二面角C﹣EF﹣D的正弦值．
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26. 某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．
1. （1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，
2. （2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．
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