浙江省台州市山海协作体2023-2024学年高一下学期4月期...

更新时间：2024-05-18 浏览次数：9 类型：期中考试

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复数 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 8

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3. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 3或5 D . 4或5

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4. 下列说法错误的是（）

A . 经过同一直线上的3个点的平面有无数个 B . 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C . 若 $\text{[math]}$ 是两条直线， $\text{[math]}$ 是两个平面，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是异面直线 D . 若直线 $\text{[math]}$ 不平行于平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 内不存在与 $\text{[math]}$ 平行的直线

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5. 向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图所示，已知点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，过点 $\text{[math]}$ 作直线与 $\text{[math]}$ 两边分别交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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8. 小明去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）

9. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 关于同一平面内的任意三个向量 $\text{[math]}$ ，下列四种说法错误的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 在 $\text{[math]}$ 中，下列说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定是等腰三角形 D . 若 $\text{[math]}$ 为钝角三角形，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知 $\text{[math]}$ 的面积为4，右图是 $\text{[math]}$ 的直观图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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13. 已知 $\text{[math]}$ 是钝角三角形，角 $\text{[math]}$ 的对边依次是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则边 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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14. 已知向量 $\text{[math]}$ 夹角为 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知向量 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的坐标与 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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16. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是正三角形．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的三顶点都在球 $\text{[math]}$ 表面，且球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$
2. （2）在 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ？若存在，指出点 $\text{[math]}$ 位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
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18. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 $\text{[math]}$ （如图）的东偏南 $\text{[math]}$ 方向 $\text{[math]}$ 的海面 $\text{[math]}$ 处，并以 $\text{[math]}$ 的速度向西偏北 $\text{[math]}$ 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 $\text{[math]}$ ，并以 $\text{[math]}$ 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

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19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，使得 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 即为费马点；当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的最小值．
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