安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月模拟数学试题

更新时间：2024-05-08 浏览次数：44 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ 是直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，下列正确的命题是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（）

A . 第5项 B . 第6项 C . 第7项 D . 第8项

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）有两个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为奇函数 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的部分图象如图，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有4个极值点

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10. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .经过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的左右两支分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为等边三角形，则（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ C . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切

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11. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，则（）

A . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积为定值 B . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积为定值 C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积最大值为 $\text{[math]}$ D . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是．

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13. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为， $\text{[math]}$ 的面积为（ $\text{[math]}$ 为坐标原点）．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的和为．

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四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值．
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16. 为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0。据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：
学生
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
获胜概率
0.4
0.6
0.8
获胜积分
6
5
4
1. （1）求甲班至少获胜2场的概率；
2. （2）记甲班获得积分为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望．
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17. 将正方形 $\text{[math]}$ 绕直线 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的位置，得到如图所示的几何体．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的外部，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1） ①若点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ；
  ②若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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19. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，利用公式 $\text{[math]}$ ①（其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数），将点 $\text{[math]}$ 变换为点 $\text{[math]}$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 组成的正方形数表 $\text{[math]}$ 唯一确定，我们将 $\text{[math]}$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …表示．
1. （1）在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，将点 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 按逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点 $\text{[math]}$ （到原点距离不变），求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，将点 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 按逆时针旋转 $\text{[math]}$ 角得到点 $\text{[math]}$ （到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
3. （3）向量 $\text{[math]}$ （称为行向量形式），也可以写成 $\text{[math]}$ ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为： $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是二阶矩阵 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的乘积，设 $\text{[math]}$ 是一个二阶矩阵， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平面上的任意两个向量，求证： $\text{[math]}$ ．
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