一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
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1.
(2020·浙江)
已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（ ）
A . {x|1＜x≤2}
B . {x|2＜x＜3}
C . {x|3≤x＜4}
D . {x|1＜x＜4}
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A . 5
B . 8
C . 10
D . 12
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4.
4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（ ）
A . 48
B . 96
C . 120
D . 240
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5.
某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为
， 连续答对两道题的概率为
.用事件
A表示“甲选手答对第一道题”，事件
B表示“甲选手答对第二道题”，则
＝（ ）
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6.
如图，一个装有水的密封瓶子，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，圆柱和圆锥的底面半径均为3，圆柱的高为6，圆锥的高为3，已知液面高度为7，则瓶子中水的体积为（ ）
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7.
年
月
日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国
岁高龄
著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在
年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字
的素数个数大约可以表示为
的结论.若根据欧拉得出的结论，估计
以内的素数个数为（ ）（素数即质数，
， 计算结果取整数）
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8.
现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A . 180
B . 150
C . 120
D . 210
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
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10.
已知
的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A . 
B . 只有第4项的二项式系数最大
C . 各项系数之和为1
D . 
的系数为560
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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
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12.
若函数
在
处取得极值，则实数
a的值为
．
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13.
已知抛物线：
，焦点为
， 若
在抛物线上且在第一象限，
， 求直线
的斜率为
．
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14.
在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用
表示
i号箱有奖品
， 用
表示主持人打开
i号箱子
， 则
；
.
四、解答题:本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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（1）
求
；
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（2）
若数列
满足：
， 设数列
的前
项和为
， 求
的最小值．
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（1）
求证：
平面
；
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（2）
若直线
与底面
所成的角的正切值为
， 求二面角
的正切值．
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19.
在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线
C：
上的曲线段
， 其弧长为
， 当动点从
A沿曲线段
运动到
B点时，
A点的切线
也随着转动到
B点的切线
， 记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
为曲线段
的平均曲率；显然当
B越接近
A ， 即
越小，
K就越能精确刻画曲线
C在点
A处的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为曲线
C在点
A处的曲率．（其中
y＇，
y＇＇分别表示
在点
A处的一阶、二阶导数）
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（1）
求单位圆上圆心角为60°
圆弧的平均曲率；
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（2）
求椭圆
在
处的曲率；
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（3）
定义
为曲线
的“柯西曲率”．已知在曲线
上存在两点
和
， 且
P ，
Q处的“柯西曲率”相同，求
的取值范围．
圆弧的平均曲率；
