一、单选题:本题共<strong><span>4</span></strong>小题,每小题<strong><span>5</span></strong>分,共<strong><span>20</span></strong>分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
-
1.
已知集合
,
, 则下列结论中正确的是( )
-
2.
(2022·玉林模拟)
现有一球形气球,在吹气球时,气球的体积V(单位:L)与直径d(单位:
)的关系式为
, 当
时,气球体积的瞬时变化率为( )
A . 2π
B . π
C .
D .
-
3.
在
中,角
,
,
所对的边分别为
,
,
, 若
, 且
, 则该三角形外接圆的半径为( )
-
4.
在
中,
,
,
为
所在平面内的动点,且
, 若
, 则给出下面四个结论:
的最小值为;
的最小值为;
的最大值为;
的最大值为 .
其中,正确结论的个数是( )
二、填空题:本题共<strong><span>12</span></strong>小题,共<strong><span>54</span></strong>分。
-
5.
复数
的虚部是
.
-
6.
双曲线
的焦距是
.
-
7.
若抛物线
的焦点到它的准线距离为
, 则实数
.
-
8.
的二项展开式的各项系数之和为
, 则该二项展开式中的常数项为
.
-
9.
已知两个单位向量
,
满足
, 则向量
,
的夹角为
.
-
10.
设函数
的定义域为
, 满足
, 当
时,
, 则
.
-
11.
设圆锥的底面中心为
,
、
是它的两条母线,且
, 若棱锥
是正三棱锥,则该圆锥的体积为
.
-
12.
已知函数
, 则
.
-
13.
已知数列
,
是公差相等的等差数列,且
, 若
为正整数,设
, 则数列
的通项公式为
.
-
14.
如图
为正六棱柱,若从该正六棱柱的
个侧面的
条面对角线中,随机选取两条,则它们共面的概率是
.
-
15.
已知
,
分别为椭圆
的左、右焦点,过
的直线与
交于
,
两点,若
, 则
的离心率是
.
-
16.
已知
, 集合
, 若集合
恰有
个子集,则
的可能值的集合为
.
三、解答题:本题共<strong><span>5</span></strong>小题,共<strong><span>76</span></strong>分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
-
17.
-
(1)
已知
, 求
的值.
-
(2)
已知
中,
, 且
, 判断
的形状,并说明理由.
-
18.
如图,在圆柱中,底面直径
等于母线
, 点
在底面的圆周上,且
,
是垂足.
-
(1)
求证:
;
-
(2)
若圆柱与三棱锥
的体积的比等于
, 求直线
与平面
所成角的大小.
-
19.
某校举行“强基计划”数学核心素养测评,要求以班级为单位参赛,最终高三一班
人
和高三二班
人
进入决赛
决赛规则如下:现有甲、乙两个纸箱,甲箱中有
个选择题和
个填空题,乙箱中有
个选择题和
个填空题,决赛由两个环节组成,环节一:要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答,作答后放回原箱,并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据;环节二:由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛,并分别统计两人的测评成绩的相关数据,两个环节按照相关比赛规则分别累计得分,以累计得分的高低决定班级的名次.
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(1)
环节一结束后,按照分层抽样的方法从两个班级抽取
名同学,并统计每位同学答对题目的数量,统计数据为:一班抽取同学答对题目的平均数为
, 方差为
;二班抽取同学答对题目的平均数为
, 方差为
, 求这
人答对题目的均值与方差;
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(2)
环节二,王刚先从甲箱中依次抽出两道题目,答题结束后将所答题目放入乙箱,然后李明在乙箱中再依次抽取两道题目,求李明抽取的两题均为选择题的概率.
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20.
已知点
,
分别为双曲线
:
的左、右焦点,直线
:
与
有两个不同的交点
,
.
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(2)
若
为原点,直线
与
的两条渐近线在一、二象限的交点分别为
,
, 证明;当
的面积最小时,直线
平行于
轴;
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(3)
设
为
轴上一点,是否存在实数
, 使得
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出
的值及点
的坐标;若不存在,说明理由.
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