一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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-
A . 2
B .
C . 3
D .
-
3.
若
, 则
的值约为( )
A . 1.322
B . 1.410
C . 1.507
D . 1.669
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4.
某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教,要求每位老师只能去一所学校,每所学校至少安排一位老师.由于工作需要,甲、乙两位老师必须安排在不同的学校,则不同的分派方法的种数是( )
A . 124
B . 246
C . 114
D . 108
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5.
抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴:反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为
, 一条平行于
轴的光线从点
射出,经过拋物线上的点
反射后,再经抛物线上的另一点
射出,则
的周长为( )
-
6.
在数列
中,如果存在正整数
, 使得
, 对于任意的正整数
均成立,那么称数列
为周期数列,其中
叫做数列
的周期.已知数列
满足
, 如果
,
, 当数列
的周期最小时,该数列前2024项的和是( )
A . 674
B . 1348
C . 1350
D . 2024
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7.
在正四棱台
中,
, 点
在底面
内,且
, 则
的轨迹长度是( )
-
8.
已知定义在
上的偶函数
, 当
时,
, 若对任意
, 总有
成立,对任意的
,
恒成立,则
的最大值为( )
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
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12.
在
中,角
所对的边分别为
.如果
,
,
的面积为
, 那么
=
.
-
13.
已知P为椭圆
上的点,F
1 , F
2分别为C的左、右焦点,C的离心率为
,
的平分线交
于点Q,则
.
-
14.
从教学楼一楼到二楼共有11级台阶(从下往上依次为第1级,第2级,
, 第11级),学生甲一步能上1级或2级台阶,若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的,则甲踩过第5级台阶的概率是
.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15.
已知数列
, 且
.
-
(1)
求数列
的通项公式;
-
-
16.
如图,在四棱锥
中,
为正三角形,底面
为直角梯形,
,
.
-
(1)
求证:平面
平面
;
-
-
17.
下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y(单位:万吨)与年份t的散点图.
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(1)
根据散点图推断变量y与t是否线性相关,并用相关系数加以说明;
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18.
已知
为双曲线
上一点,
分别为双曲线
的左、右顶点,且直线
与
的斜率之和为
.
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(1)
求双曲线
的方程;
-
(2)
不过点
的直线
与双曲线
交于
两点,若直线
的倾斜角分别为
和
, 且
, 证明:直线
过定点.
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(1)
求曲线
在点
处的切线方程;
-
(2)
证明:
存在唯一的极值点;
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(3)
若存在
, 使得
对任意
成立,求实数
的取值范围.