广西部分学校2024届高三下学期开学考试数学试题

更新时间：2024-04-04 浏览次数：5 类型：开学考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）

A . 12，13 B . 13，13 C . 13，12 D . 12，14

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2. (2022高二下·临洮开学考) 如果椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4或 $\text{[math]}$

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3. 已知等差数列 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . 0 C . 2 D . 4

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4. 设 $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. 用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（）

A . 8个 B . 12个 C . 18个 D . 24个

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数 $\text{[math]}$ 的大致图象是（）

A . B . C . D .

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8. 设双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等比数列，A是 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 是与A不在 $\text{[math]}$ 轴同侧的焦点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的虚轴的一个端点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的任意一条不过原点且斜率为 $\text{[math]}$ 的弦， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则下列判断错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 的一条渐近线的斜率为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 的斜率） D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 恒成立

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 关于函数 $\text{[math]}$ 有下述四个结论，其中结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为复数，i是虚数单位，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2023高三上·通榆期中) 已知 $\text{[math]}$ 为定义在R上的偶函数且 $\text{[math]}$ 不是常函数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是奇函数，则（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是奇函数 D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于原点对称

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2023高三上·上海市月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 已知 $\text{[math]}$ 三边长分别为3，4，5，且A ， B ， C均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，球心 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积等于．

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14. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，延长CD至E ，使得 $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 作直线与函数 $\text{[math]}$ 的图象相切，判断切线的条数.
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16. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的 $\text{[math]}$ 列联表：

更关注保暖性能
更关注款式设计
合计
女性
160
80
240
男性
120
40
160
合计
280
120
400
1. （1）是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？
2. （2）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记 $\text{[math]}$ 为抽取的2人中女生的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．
  附： $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$
  0.10
  0.05
  0.010
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
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17. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 处，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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18. 设抛物线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的焦点为F ，抛物线C上一点A的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点A作抛物线C的切线 $\text{[math]}$ ，与x轴交于点D ，与y轴交于点E ，与直线l： $\text{[math]}$ 交于点M.当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点P ，与直线l交于点N ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值，并求取到最小值时 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 是正项等比数列， $\text{[math]}$ 是等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2） $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数， $\text{[math]}$ 表示数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，集合 $\text{[math]}$ 共有4个元素，求 $\text{[math]}$ 范围；
3. （3） $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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