广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期1月期末...

更新时间：2024-05-17 浏览次数：5 类型：期末考试

一、/span>､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 4

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2. 已知曲线 $\text{[math]}$ 表示焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·广州月考) 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知点 $\text{[math]}$ ，则满足下列关系式的动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是双曲线 $\text{[math]}$ 的下支的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若直线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴上的截距相等，且直线 $\text{[math]}$ 将圆 $\text{[math]}$ 的周长平分，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（）

A . 561 B . 595 C . 630 D . 666

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8. 已知 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点，椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点相同， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的中点在双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线上，且 $\text{[math]}$ ，则椭圆的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、/span>､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ，则下列说法不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ 两点，则下列结论正确的是（）

A . 抛物线的焦点坐标是 $\text{[math]}$ B . 焦点到准线的距离是2 C . 若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为2 D . 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点，则 $\text{[math]}$ 的坐标可以是 $\text{[math]}$

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11. 数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是递减数列 B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 或5时， $\text{[math]}$ 取得最大值

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12. 过点 $\text{[math]}$ 作两条相互垂直的射线与圆 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 两点，则弦长 $\text{[math]}$ 可能的取值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . 5 D . 6

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三、/span>､填空题：本题共4小题，包小题5分，共20分

13. 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ .

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14. 数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知直线 $\text{[math]}$ 经过椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ ，且与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为椭圆的右焦点， $\text{[math]}$ 的周长为8，则此椭圆的短轴长为；弦长 $\text{[math]}$ .

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16. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的动点，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起形成直二面角 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最短时， $\text{[math]}$ .

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四、/span>､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 ▲ 在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ 这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答.
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 的中心.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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19. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，一条浙近线的倾斜角为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ，过双曲线的右焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交双曲线于A、B.以 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否恒过点 $\text{[math]}$ ，请说明理由.
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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是一块长方形绿地， $\text{[math]}$ 是一条直路，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到 $\text{[math]}$ 三个点的距离相等.以点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴建立如图所示的直角坐标系.
1. （1）求出建筑物的中心 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）由建筑物的中心到直路 $\text{[math]}$ 要开通一条路，已知路的造价为150万元 $\text{[math]}$ ，求开通的这条路的最低造价.
  （附：参考数据 $\text{[math]}$ .）
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22. 定义：若无穷数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，则称数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”.设数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 数列”，是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出所有满足条件的正整数 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由.
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