湖南省衡阳市第八名校2024届高三上学期第一次模拟测试数学试...

更新时间：2024-03-26 浏览次数：35 类型：高考模拟

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，只需把函数 $\text{[math]}$ 的图象上所有的点的（）

A . 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B . 横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍，纵坐标不变 C . 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D . 纵坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍，横坐标不变

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3. 已知两个单位向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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4. 已知 $\text{[math]}$ 是等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若关于n的不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数t的最大值为（）

A . 12 B . 16 C . 24 D . 36

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5. 已知直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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7. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如图①所示．将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折起，使得点 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 的位置，此时 $\text{[math]}$ 内部存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，如图②所示，则 $\text{[math]}$ 的值可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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8. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则a和b的可能取值为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 定义在D上的函数 $\text{[math]}$ ，如果满足：存在常数 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则称 $\text{[math]}$ 是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 表示不大于x的最大整数）

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10. 将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（）

A . 事件甲与事件丙为互斥事件 B . 事件甲与事件丁是相互独立事件 C . 事件乙包含于事件丙 D . 事件丙与事件丁是对立事件

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11. 已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与准线交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，则下面说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 设原点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则公差 $\text{[math]}$ ．

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15. 已如圆台的高为2，上底面圆 $\text{[math]}$ 的半径为2，下底面圆 $\text{[math]}$ 的半径为4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点分别在圆 $\text{[math]}$ 、圆 $\text{[math]}$ 上，若向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角为60°，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的大小为．

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16. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ （不含端点）和 $\text{[math]}$ 上的动点，满足 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和.
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18. 已知 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度.
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19. 如图，已知五面体 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 内接于圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的直径，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且二面角 $\text{[math]}$ 所成角 $\text{[math]}$ 的正切值是2，试求该几何体 $\text{[math]}$ 的体积．
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20. 某市在 $\text{[math]}$ 万成年人中随机抽取了 $\text{[math]}$ 名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于 $\text{[math]}$ 小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于 $\text{[math]}$ 小时的市民称为“读书迷”．
1. （1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；
2. （2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中 $\text{[math]}$ 的成年人平均每天读书时长不低于 $\text{[math]}$ 小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到 $\text{[math]}$ ）
3. （3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过 $\text{[math]}$ 万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数 $\text{[math]}$ ，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少 $\text{[math]}$ ， “读书迷”愿意加入的人数会减少 $\text{[math]}$ ．问会费参数 $\text{[math]}$ 至少定为多少时，才能使会员的人数不超过 $\text{[math]}$ 万人？
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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，虚轴长为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的左支于A、B两点.
1. （1）求双曲线C的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，试问：是否存在直线 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上？请说明理由.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 的零点个数；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若对 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象都不在 $\text{[math]}$ 图象的下方，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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