重庆市巴南区2024届高三上学期数学诊断考试（一）试卷

更新时间：2024-02-22 浏览次数：29 类型：高考模拟

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高一下·海南期末) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高三上·哈尔滨开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1～9的一种方法.例如：3可表示为“ $\text{[math]}$ ”，26可表示为“ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项积 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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6. (2023高一下·海南期末) 如图所示，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 48

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7. 椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M ， N满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 的周长等于 $\text{[math]}$ ，则椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知偶函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且只有 $\text{[math]}$ 个整数解，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：
学校
人数
平均运动时间
方差
甲校
2000
10
3
乙校
3000
8
2
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O ，则下列说法正确的有（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则平行六面体的体积 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，下列选项正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 有最大值 B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ D . 设 $\text{[math]}$ 为两个不相等的正数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. $\text{[math]}$ 展开式中的各二项式系数之和为256，则 $\text{[math]}$ 的系数是

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14. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.

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15. (2023高二下·天河期末) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 异于坐标原点 $\text{[math]}$ ），使得 $\text{[math]}$ ，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 与该抛物线交于C ， D两点，则四边形ACBD面积的最小值为.

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四、解答题（共6小题，共70分）

17. (2023高二下·黔西期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前项和 $\text{[math]}$ .
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19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 $\text{[math]}$ 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
1. （1）根据频率分布直方图，估计这 $\text{[math]}$ 位年轻人每天阅读时间的平均数 $\text{[math]}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
2. （2）若年轻人每天阅读时间 $\text{[math]}$ 近似地服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $\text{[math]}$ 的人数 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
  附参考数据：若，则① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .
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20. (2023高二下·江宁期末) 如图所示，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上（不含端点），是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，确定点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，说明理由．
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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆与直线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，记点M的轨迹为C.
1. （1）求C的方程；
2. （2）设点T在直线 $\text{[math]}$ 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P ， Q两点，连接 $\text{[math]}$ .若直线 $\text{[math]}$ 的斜率与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和为0，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  （Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
  （Ⅱ）判断 $\text{[math]}$ 的单调性，并给出证明；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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