一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
-
-
-
3.
剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术,在折纸界流传着“折不过8”的说法,为了验证这一说法,有人进行了实验,用一张边长为
的正方形纸,最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为
, 第2次对折后的纸张厚度为
, 以此类推,设纸张未折之前的厚度为
毫米,则
( )
-
4.
若正四棱台的上、下底面的面积分别为2,8,侧棱与下底面所成角的正切值为2,则该正四棱台的体积为( )
-
5.
已知
, 则
( )
-
6.
已知函数
, 若对任意的正数
、
, 满足
, 则
的最小值为( )
-
7.
M点是圆
上任意一点,
为圆
的弦,且
,
N为
的中点.则
的最小值为( )
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
-
8.
设函数
(其中
为自然对数的底数),若存在实数
a使得
恒成立,则实数
m的取值范围是( )
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
-
13.
已知双曲线
的两条渐近线方程为
, 若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为
.
-
14.
各项均为正数的等比数列
的前
项和为
, 且
,
,
成等差数列,若
, 则
.
-
15.
在三棱锥
中,
,
,
, 则三棱锥
外接球的表面积为
.
-
16.
在直角
中,
, 平面
内动点
满足
, 则
的最小值为
.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
-
-
(1)
求证:
为等差数列;
-
-
-
-
(2)
已知
, D为边
上的一点,若
,
, 求
的长.
-
19.
从今年起,我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动,首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日,宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”,在此宣传周期间,某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛,每位参赛者需测试A , B , C三个项目,三个测试项目相互不受影响.
-
(1)
若某居民甲在测试过程中,第一项测试是等可能的从
三个项目中选一项测试,且他测试
三个项目“通过”的概率分别为
.求他第一项测试“通过”的概率;
-
(2)
现规定:三个项目全部通过获得一等奖,只通过两项获得二等奖,只通过一项获得三等奖,三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择
的顺序参加测试,且他前两项通过的概率均为
, 第三项通过的概率为
.若他获得一等奖的概率为
, 求他获得二等奖的概率
的最小值.
-
20.
如图,在四棱台
中,底面
是正方形,
,
,
,
.
-
(1)
求证:直线
平面
;
-
(2)
求二面角
的余弦值.
-
-
(1)
求椭圆
的方程;
-
(2)
过点
的直线
交椭圆
于
、
两点,交
轴于点
, 点
关于
轴的对称点为
, 直线
交
轴于点
.求
的取值范围.
-
22.
已知
,
.
-
(1)
求曲线
在点
处的切线方程;
-
(2)
当
时,若关于
的方程
存在两个正实数根
, 证明:
且
.