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上海市嘉定区2023-2024学年高三数学第一次质量调研试

更新时间：2024-04-01 浏览次数：7 类型：月考试卷

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分．

1. 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为．

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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5. (2015高三上·苏州期末) 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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6. 已知事件A和B独立， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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7. 已知实数a、b满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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8. 已知 $\text{[math]}$ 的二项展开式中系数最大的项为．

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9. 关于x的方程 $\text{[math]}$ 有三个不同的实数解，则实数m的值为．

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10. 已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为．

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11. 已知复平面上一个动点Z对应复数z ，若 $\text{[math]}$ ，其中i是虚数单位，则向量 $\text{[math]}$ 扫过的面积为．

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12. 正四棱台 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，在直线 $\text{[math]}$ 上各取一个点P、Q ，使得M、P、Q三点共线，则线段 $\text{[math]}$ 的长度为．

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二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分．

13. 直线倾斜角的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为（）

第一跳
第二跳
第三跳
第四跳
第五跳
甲
85.5
96
86.4
75.9
94.4
乙
79.5
80
95.7
94.05
86.4

A . 甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙 B . 甲的均分大于乙，甲的方差大于乙 C . 甲的均分大于乙，甲的方差等于乙 D . 甲的均分大于乙，甲的方差小于乙

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15. 已知等差数列 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 可能是奇函数 B . 若函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 是偶函数 D . 若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的图像是轴对称图形

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16. 已知四面体 $\text{[math]}$ ．分别对于下列三个条件：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，
是 $\text{[math]}$ 的充要条件的共有几个（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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三、解答题（本大题满分8分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17. 已知三角形 $\text{[math]}$ ，三角形的面积 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求角C的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求c ．
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，

圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽， $\text{[math]}$
抗弯截面系数
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
1. （1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
2. （2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为 $\text{[math]}$ 的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D ，如下图所示，请问 $\text{[math]}$ 为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
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20. 抛物线 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ．过点P作抛物线的切线l ，再过点P作直线m ，使得 $\text{[math]}$ ，直线m和抛物线的另一个交点为Q ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求切线l的直线方程；
2. （2）当直线l与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形 $\text{[math]}$ 的面积（点O是坐标原点）；
3. （3）求出线段 $\text{[math]}$ 关于s的表达式，并求 $\text{[math]}$ 的最小值；
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21. 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；
2. （2）请严格证明曲线 $\text{[math]}$ 有唯一交点；
3. （3）对于常数 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 共有三个不同交点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 成等比数列．
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