一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
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2.
人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了
， 17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用
表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程
， 则
（ ）
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3.
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如
， 在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（ ）
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A . 1
B . 14
C . 
D . 
-
-
-
7.
已知双曲线C：
的焦点到渐近线的距离为
， 直线l与C相交于A、B两点，若线段
的中点为
， 则直线l的斜率为（ ）
A . 
B . 1
C .
D . 2
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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
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9.
设
为两个互斥的事件，且
， 则（ ）
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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
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14.
“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 023这2 023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为．
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15.
已知椭圆
的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且
， 若
， 则椭圆C的离心率是
．
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16.
(2020·江苏)
在△ABC中，
D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若
（m为常数），则CD的长度是
．
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
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17.
记
的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且
，
．
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（1）
证明：
是等腰三角形；
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（2）
若
， 求
-
-
（1）
证明：
是等比数列；
-
-
19.
如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，
， 且
底面
， 点
分别在棱
、
上·
-
（1）
若P是
的中点，证明：
；
-
（2）
若
平面
， 且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为
， 求四面体
的体积．
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20.
设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
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（1）
若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
-
（2）
若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量
表示最后摸出的2个球的分数之和，求
的分布列及数学期望.
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21.
已知抛物线
， 过点（2，0）的直线交
于
，
两点，圆
是以线段
为直径的圆．
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（1）
证明：坐标原点
在圆
上；
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22.
已知函数
（
……是自然对数底数）．
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（1）
当
时，讨论函数
的单调性；
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（2）
当
时，证明：
．
