广东省湛江重点中学2023-2024学年高三上册数学开学试卷

更新时间：2023-10-31 浏览次数：27 类型：开学考试

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·广东月考) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的增区间为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设公差不为零的等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为坐标原点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ 为钝角， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 一组数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 这组数据的平均数为 $\text{[math]}$ B . 这组数据的方差为 $\text{[math]}$ C . 这组数据的极差为 $\text{[math]}$ D . 这组数据的第 $\text{[math]}$ 百分位数为 $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 有两个极值点 B . $\text{[math]}$ 有两个零点 C . $\text{[math]}$ 恒成立 D . $\text{[math]}$ 恒成立

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11. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则（）

A . 圆 $\text{[math]}$ 的圆心坐标为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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12. $\text{[math]}$ 九章算术 $\text{[math]}$ 里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑” $\text{[math]}$ 如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $\text{[math]}$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑” $\text{[math]}$ 在鳖臑 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，其外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，当此鳖臑的体积 $\text{[math]}$ 最大时，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 此鳖臑的体积 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的内切球的半径为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中含 $\text{[math]}$ 的系数为．

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14. 小张、小陈、小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为 $\text{[math]}$ ，小陈做出这道题的概率为 $\text{[math]}$ ，小胡做出这道题的概率为 $\text{[math]}$ ，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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16. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右支上有一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆与 $\text{[math]}$ 轴相切，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小．
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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20. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三 $\text{[math]}$ 个班级每个班随机抽取 $\text{[math]}$ 名同学进行问卷，统计数据如下表：

	课余学习时间超过两小时	课余学习时间不超过两小时
$\text{[math]}$ 名以前	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 名以后	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）依据上表，根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；

（3）学校在成绩 $\text{[math]}$ 名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取 $\text{[math]}$ 人，再从这 $\text{[math]}$ 人中随机抽取 $\text{[math]}$ 人，记这 $\text{[math]}$ 人中课余学习时间超过两小时的学生人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．

附：参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

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21. (2023高三上·潮安) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，且点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ．
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