浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试...

更新时间：2023-05-19 浏览次数：72 类型：期中考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . -2 D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二下·余杭月考) 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）

A . $\text{[math]}$ 小时 B . $\text{[math]}$ 小时 C . $\text{[math]}$ 小时 D . $\text{[math]}$ 小时

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4. (2023·安徽月考) 平面向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相互垂直，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角是钝角，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 定义运算： $\text{[math]}$ ，将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 的单位后，所得图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是

A . 甲48枚，乙48枚 B . 甲64枚，乙32枚 C . 甲72枚，乙24枚 D . 甲80枚，乙16枚

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 恰有4个不相等的实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知数列 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 如图所示，在正方体 $\text{[math]}$ 中，O为DB的中点，直线 $\text{[math]}$ 交平面 $\text{[math]}$ 于点M，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ， M，O三点共线 B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 是共面直线

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11. 已知顶点在原点 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过抛物线焦点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，当直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ 面积为8.下列结论正确的是（）

A . 抛物线方程为 $\text{[math]}$ . B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的中点到 $\text{[math]}$ 轴距离为4. C . $\text{[math]}$ 有可能为直角三角形. D . $\text{[math]}$ 的最小值为18.

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12. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 上有且仅有一个点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值可以为（）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 7

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 写出一个满足下列条件的正弦型函数： $\text{[math]}$ .最小正周期是 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；） $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ .

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15. 点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴与其准线的交点，过 $\text{[math]}$ 作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线，切点为 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 恰好在以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为.

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16. 已知 $\text{[math]}$ 所在平面与矩形 $\text{[math]}$ 所在平面互相垂直，且满足 $\text{[math]}$ ，则多面体 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ， ∠B＝45°．
1. （1）求边BC的长以及三角形ABC的面积；
2. （2）在边BC上取一点D，使得 $\text{[math]}$ ，求tan∠DAC的值．
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18. (2021高二上·衡阳月考) 为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：
1. （1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；
2. （2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
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20. (2021高三上·潍坊期中) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 内的射影恰好是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且右焦点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程：
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值；
3. （3）在（2）的条件下，若点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于原点 $\text{[math]}$ 的对称点，求三角形 $\text{[math]}$ 的面积的取值范围.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有经过原点的切线，求 $\text{[math]}$ 的取值范围及切线的条数，并说明理由；
3. （3）设函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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