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上海市嘉定区2023届高三数学二模试卷

更新时间：2023-04-29 浏览次数：38 类型：高考模拟

一、填空题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ =．

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2. 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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4. (2017高一上·江苏月考) 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为

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5. $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则 $\text{[math]}$ ．

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ，定义域为 $\text{[math]}$ ，则该函数的最小值为．

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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8. 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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9. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，侧棱长均为 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为．

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10. 已知某产品的一类部件由供应商 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 提供，占比分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，供应商 $\text{[math]}$ 提供的部件的良品率为 $\text{[math]}$ ，若该部件的总体良品率为 $\text{[math]}$ ，则供应商 $\text{[math]}$ 提供的部件的良品率为．

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11. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上， $\text{[math]}$ ．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为．

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12. 若关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在极小值（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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二、单选题

13. 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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14. 函数 $\text{[math]}$ 是（）

A . 奇函数 B . 偶函数 C . 奇函数也是偶函数 D . 非奇非偶函数

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15. 已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为 $\text{[math]}$ ，与该正方体每条棱都相切的球半径为 $\text{[math]}$ ，过该正方体所有顶点的球半径为 $\text{[math]}$ ，则下列关系正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益 $\text{[math]}$ 和商业投资的收益 $\text{[math]}$ 的分布分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（）

A . 存银行 B . 房产投资 C . 商业投资 D . 房产投资和商业投资均可

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三、解答题

17. 如图，正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E、F分别是棱BC和 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）判断直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并说明理由；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与底面ABCD所成角为 $\text{[math]}$ ，求四棱柱 $\text{[math]}$ 的全面积．
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18. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的最大值及相应 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中，角A为锐角，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求边 $\text{[math]}$ 的长．
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19. 李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：
  
  超过M
  不超过M
  上班时间
  下班时间
2. （2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
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20. 若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点．已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在第一象限内的交点为P． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在点P处的切线分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的夹角为曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角．
1. （1）求点P的坐标；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若直线 $\text{[math]}$ 既是 $\text{[math]}$ 也是 $\text{[math]}$ 的切线，切点分别为Q、R，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求出相应的 $\text{[math]}$ 的值．
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21. 已知 $\text{[math]}$ ，等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：函数 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 中心对称；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是某三角形的三个内角，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．反之是否成立？并请说明理由．
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