广东省广州市2023届高三数学综合测试（一）试卷

更新时间：2023-04-26 浏览次数：80 类型：高考模拟

一、单选题

1. 若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的子集个数为（）

A . 3 B . 4 C . 8 D . 16

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3. 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的图像大致为（）

A . B . C . D .

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4. 已知 $\text{[math]}$ 为第一象限角. $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）

A . 100个 B . 125个 C . 225个 D . 250个

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为坐标原点 $\text{[math]}$ ，焦点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，过点 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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7. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的四个顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 均为正实数， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数，若 $\text{[math]}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A . 频率分布直方图中a的值为0.07 B . 这100名学生中体重低于60kg的人数为60 C . 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62 D . 据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有且仅有2个极值点 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分別在函数 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的图像上， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则下列命题正确的是（）

A . 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上无解，则 $\text{[math]}$ B . 存在 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 若存在 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，则 $\text{[math]}$ D . 若存在 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 的横坐标的取值范围是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，将数列 $\text{[math]}$ 与数列 $\text{[math]}$ 的公共项从小到大排列得到新数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，其导函数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ，则关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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16. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 上的动点.且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长为.点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为.

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ ，并证明数列 $\text{[math]}$ 是等差数列：
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求正整数 $\text{[math]}$ 的所有取值.
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18. 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.
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20. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为 $\text{[math]}$ ，各次答题结果互不影响.
1. （1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
2. （2）记甲第i次答题所得分数 $\text{[math]}$ 的数学期望为 $\text{[math]}$ .
  ①写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
  ②若 $\text{[math]}$ ，求i的最小值.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，以C的短轴为直径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切.
1. （1）求C的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为 $\text{[math]}$ （O为坐标原点），△APQ的面积为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？并说明理由.
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22. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ：
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 存在极小值点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$
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