东北三省三校2023届高三数学第一次联合模拟考试试卷

更新时间：2023-04-24 浏览次数：56 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知i为虚数单位，复数z满足 $\text{[math]}$ ，则复数z对应的点在（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知向量非零 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 方向的投影向量是 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列 $\text{[math]}$ ，则关于数列 $\text{[math]}$ 叙述正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ D . 数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$

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5. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. “阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知 $\text{[math]}$ ，则该半正多面体外接球的表面积为（）

A . 18π B . 16π C . 14π D . 12π

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7. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若关于x的方程 $\text{[math]}$ 有且仅有四个相异实根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 函数 $\text{[math]}$ （其中A， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小正周期为π C . $\text{[math]}$ D . 将函数f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象

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10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C： $\text{[math]}$ ， O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $\text{[math]}$ 从点M（5，2）射入，经过C上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线 $\text{[math]}$ 射出，经过点N.下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若延长PO交直线 $\text{[math]}$ 于D，则点D在直线 $\text{[math]}$ 上 C . MQ平分∠PQN D . 抛物线C在点P处的切线分别与直线 $\text{[math]}$ 、FP所成角相等

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11. 已知实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知异面直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，所成角为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 外一定点，则下列结论正确的是（）

A . 过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所成角均为 $\text{[math]}$ 的直线有3条 B . 过点 $\text{[math]}$ 且与平面 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所成角都是 $\text{[math]}$ 的直线有4条 C . 过点 $\text{[math]}$ 作与平面 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角的直线，可以作无数条 D . 过点 $\text{[math]}$ 作与平面 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角，且与直线 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 的直线，可以作3条

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 的二项展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是.（用数字作答）

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14. 若 $\text{[math]}$ 为奇函数，则实数 $\text{[math]}$ .

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15. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在椭圆C上，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若椭圆C的离心率 $\text{[math]}$ ，则实数λ取值范围为.

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四、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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18. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 公差 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为棱AB的中点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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20. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
天数
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人数
4
15
33
31
11
6
附：参考数据： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$\text{[math]}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1. （1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且 $\text{[math]}$ ，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
2. （2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：
  性别
  活动天数
  合计
  [0，15]
  （15，30]
  男生
  女生
  合计
  并依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.
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21. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且渐近线方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线C的方程；
2. （2）如图，过点 $\text{[math]}$ 的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线 $\text{[math]}$ 于点P、Q，求 $\text{[math]}$ 的值.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的导函数.
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点，证明： $\text{[math]}$ .
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