安徽省“江南十校”2023届高三下学期数学3月一模试卷

更新时间：2023-04-14 浏览次数：74 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体 $\text{[math]}$ .已知该正方体中，点 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 三点的平面与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（）种．

A . 40 B . 24 C . 20 D . 12

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的对称中心 B . 点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的对称中心 C . 直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的对称轴 D . 直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的对称轴

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7. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是奇函数 B . $\text{[math]}$ 的单调递增区间为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的极值点为 $\text{[math]}$

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10. 在平行六面体 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ B . 线段 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的准线方程为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点 C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切 D . $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 平行

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为偶函数，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为（用数字作答）.

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14. 已知圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是参数），则直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的弦长的最小值为.

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15. 已知直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率是.

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16. 若过点 $\text{[math]}$ 有3条直线与函数 $\text{[math]}$ 的图象相切，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，锐角 $\text{[math]}$ 的顶点与坐标原点 $\text{[math]}$ 重合，始边与 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 $\text{[math]}$ 的交点分别为 $\text{[math]}$ .已知点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ .
  请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.
  ①若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值.
  ②若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 已知在递增数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的两个零点，数列 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3 $\text{[math]}$ .某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）
根据海浪高度将海浪划分为如下等级：
浪高 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
海浪等级
微浪
小浪
中浪
大浪
海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.
1. （1）某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；
2. （2）气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为 $\text{[math]}$ ， “中浪”的概率为 $\text{[math]}$ ；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为 $\text{[math]}$ ， “中浪”的概率为 $\text{[math]}$ .现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.
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20. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的“姊妺”圆锥曲线， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的离心率，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右顶点.
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 右支于 $\text{[math]}$ 两点，若直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ .
  （i）试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值 $\text{[math]}$ 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
  （ii）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在定义域上具有唯一单调性，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ .
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