安徽省皖江名校联盟2023届高三下学期数学第五次联考（开学摸...

更新时间：2023-02-27 浏览次数：50 类型：开学考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ |，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间．下图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是（）

A . 昼夜温差最大为12℃ B . 昼夜温差最小为4℃ C . 有3天昼夜温差大于10℃ D . 有3天昼夜温差小于7℃

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若D是BC的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 3 C . 4 D . 5

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ 图象上相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数 $\text{[math]}$ 的一个零点是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与一条坐标轴相切，圆心在直线 $\text{[math]}$ 上．若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，则满足条件的 $\text{[math]}$ 有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. 已知圆锥DO的轴截面为等边三角形， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的内接正三角形，点P在DO上，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 平面PBC，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知动圆过定点 $\text{[math]}$ ，且在x轴上截得的弦AB的长为8．过此动圆圆心轨迹C上一个定点 $\text{[math]}$ 引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的倾斜角互为补角，记直线ST的斜率为k，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是等比数列 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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10. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 为偶函数，且 $\text{[math]}$ 恒成立．当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ．则下列四个命题中，正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的周期是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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12. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，E，F分别是棱 $\text{[math]}$ 和棱 $\text{[math]}$ 的中点，G为棱BC上的动点（不含端点）．下列说法中正确的是（）

A . 当G为棱BC的中点时， $\text{[math]}$ 是锐角三角形 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 C . $\text{[math]}$ 面积的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 若异面直线AB与EG所成的角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 若复数 $\text{[math]}$ （i是虚数单位）的共轭复数是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部是．

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14. 2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为．

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15. 过点 $\text{[math]}$ 作斜率为k的直线l交双曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 的中点在直线 $\text{[math]}$ 上，则实数k的值为．

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16. 已知直线l与曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都相切，则直线l的方程为．

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四、解答题

17. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，BC在AB上的投影长等于 $\text{[math]}$ 的外接圆半径R．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求R．
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18. 2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：

喜欢雪上运动
不喜欢雪上运动
合计
男生
80
40
女生
30
50
合计
1. （1）完成 $\text{[math]}$ 列联表，依据小概率值 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？
2. （2） ①从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件 $\text{[math]}$ “至少有2名是男生”，事件 $\text{[math]}$ “至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件 $\text{[math]}$ “至多有1名喜欢雪上运动的女生”．试计算 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值，并比较它们的大小．
  ②①中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．
  参考公式及数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$
  0.10
  0.05
  0.010
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
  10.828
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，其前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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20. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，其垂足 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求证： $\text{[math]}$
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值
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21. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆C： $\text{[math]}$ 的左右焦点，P为椭圆C上一点．若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若直线l： $\text{[math]}$ 与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点 $\text{[math]}$ ，求实数m的取值范围．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有且仅有一个极值点，求a的取值范围．
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