湖北省十七所重点中学2023届高三下学期数学2月第一次联考试...

更新时间：2023-02-27 浏览次数：98 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的导函数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为 $\text{[math]}$ 、下底面半径为 $\text{[math]}$ 、高为 $\text{[math]}$ 的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知平面非零向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 16

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7. 设集合 $\text{[math]}$ ，则集合S的元素个数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设随机变量 $\text{[math]}$ ，当正整数n很大，p很小， $\text{[math]}$ 不大时，X的分布接近泊松分布，即 $\text{[math]}$ ．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有 $\text{[math]}$ 以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知 $\text{[math]}$ …）（）

A . 100 B . 101 C . 102 D . 103

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二、多选题

9. 已知递增的正整数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．以下条件能得出 $\text{[math]}$ 为等差数列的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上．则（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为9 B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 平行于x轴，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 平行于y轴，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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12. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的边长为2，点P，Q分别在正方形 $\text{[math]}$ 的内切圆，正方形 $\text{[math]}$ 的外接圆上运动，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知多项式 $\text{[math]}$ 满足对任意 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用数字作答）．

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14. 冰雹猜想是指：一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数 $\text{[math]}$ ，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列 $\text{[math]}$ 满足递推式 $\text{[math]}$ 请写出一个满足条件的首项 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ．

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15. 设实数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 恒成立，则a的取值范围为．

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16. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ， C的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点A在椭圆C上满足 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，点D为线段 $\text{[math]}$ 的中点，侧面 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积与表面积之比的最大值．
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18. 为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据 $\text{[math]}$ ，部分数据如下：
x
…
2.7
3.6
3.2
…
y
…
57.8
64.7
62.6
…
经计算得： $\text{[math]}$ ．
1. （1）利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；
2. （2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系 $\text{[math]}$ 下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，
  （ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；
  （ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．
  附：y关于x的回归方程 $\text{[math]}$ 中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ．
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19. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ．
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20. 设点A为双曲线 $\text{[math]}$ 的左顶点，直线l经过点 $\text{[math]}$ ，与C交于不与点A重合的两点P，Q．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和；
2. （2）设在射线 $\text{[math]}$ 上的点R满足 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率的最大值．
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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足：
①对任意质数p和自然数n，都 $\text{[math]}$ ；
②对任意互质的正整数对 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的前6项，观察并直接写出 $\text{[math]}$ 与能整除n的正整数的个数的关系 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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22. 已知直线l与曲线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ．证明：
1. （1） l与曲线 $\text{[math]}$ 恰存在两个公共点 $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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