湖南省衡阳市2023届高三数学期末联考试卷

更新时间：2023-02-23 浏览次数：47 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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2. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点分别是 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 2 B . -2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象大致为（）

A . B . C . D .

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4. 过点 $\text{[math]}$ 作直线，使它与抛物线 $\text{[math]}$ 仅有一个公共点，这样的直线有（）

A . 1条 B . 2条 C . 3条 D . 4条

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5. 已知 $\text{[math]}$ 为球 $\text{[math]}$ 球面上的三个点，若 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. “碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式 $\text{[math]}$ ，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为 $\text{[math]}$ （亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为 $\text{[math]}$ （亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 13年 B . 14年 C . 15年 D . 16年

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7. 2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）

A . 12 B . 18 C . 36 D . 48

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 将 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到 $\text{[math]}$ 的图象，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内是增函数

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10. 为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（）

A . 平均数为8.5 B . 平均数为8 C . 方差为10.5 D . 方差为10

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11. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 有三个零点 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为减函数 D . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$

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12. 如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 存在 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 对任意 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知集合 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 满足不等式 $\text{[math]}$ 的解集为P，则函数 $\text{[math]}$ ．（写出一个符合条件的即可）

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15. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，若点P的纵坐标为1， $\text{[math]}$ ，则C的离心率为．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个零点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ．
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18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
1. （1）求甲获得奖金的期望；
2. （2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．
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19. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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20. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， O为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上（不含端点）是否存在点Q，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．
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21. 已知 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a，b的值；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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22. 已知O为坐标原点，M是椭圆 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点N满足 $\text{[math]}$ ，设点N的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程．
2. （2）若点A，B，C，D在椭圆 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P，点P在 $\text{[math]}$ 上．证明： $\text{[math]}$ 的面积为定值．
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