北京市东城区2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2023-01-30 浏览次数：64 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，那么实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）度

A . 45 B . 135 C . 60 D . 90

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3. 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英文为：“Together for a Shared Future”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待.“一起向未来”的英文表达是：“Together for a Shared Future”，其字母出现频数统计如下表：
字母
t
o
g
e
h
r
f
a
s
d
u
频数
3
2
1
4
2
4
2
2
1
1
2
合计频数为24，那么字母“ $\text{[math]}$ ”出现的频率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点 $\text{[math]}$ 对称的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 圆心为 $\text{[math]}$ ，半径 $\text{[math]}$ 的圆的标准方程为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高为4，棱 $\text{[math]}$ 的长为2，点 $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 上一动点，那么 $\text{[math]}$ 面积的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为 $\text{[math]}$ ，第二次得到的点数记为 $\text{[math]}$ ，那么事件“ $\text{[math]}$ ”的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台 $\text{[math]}$ 站和 $\text{[math]}$ 站相距 $\text{[math]}$ .根据它们收到的信息，可知震中到 $\text{[math]}$ 站与震中到 $\text{[math]}$ 站的距离之差为 $\text{[math]}$ .据此可以判断，震中到地震台 $\text{[math]}$ 站的距离至少为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 对于数列 $\text{[math]}$ ，若存在正数 $\text{[math]}$ ，使得对一切正整数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 是有界的.若这样的正数 $\text{[math]}$ 不存在，则称数列 $\text{[math]}$ 是无界的.记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 是无界的 B . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 是有界的 C . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 是有界的 D . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 是有界的

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二、填空题

13. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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14. 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 两条直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离是.

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16. 试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为 $\text{[math]}$ 的双曲线方程.

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17. 已知点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ （其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线 $\text{[math]}$ 上任意两个不同的点，且 $\text{[math]}$ .则下列结论正确的是.
①当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 表示椭圆；
②当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线；
③当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，使得 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形的点 $\text{[math]}$ 有6个；
④当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，使得 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形的点 $\text{[math]}$ 有8个.

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18. 某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是 $\text{[math]}$ ，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为.

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三、解答题

19. 某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立.
收银台
顾客
A收银台
B收银台
C收银台
甲
a
0.2
0.4
乙
0.3
b
0.3
1. （1）求a，b的值；
2. （2）求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；
3. （3）求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率.
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20. 在四棱雉 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
3. （3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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21. 已知圆 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 及点 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 的位置关系；
2. （2）求经过点 $\text{[math]}$ 且与圆 $\text{[math]}$ 相切的直线方程.
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，一个顶点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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23. 已知无穷数列 $\text{[math]}$ 满足公式 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）给定整数 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的实数 $\text{[math]}$ ，使数列 $\text{[math]}$ 满足：
  ①数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项都不为零；
  ②数列 $\text{[math]}$ 中从第 $\text{[math]}$ 项起，每一项都是零.
  若存在，请将所有这样的实数 $\text{[math]}$ 从小到大排列形成数列 $\text{[math]}$ ，并写出数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；若不存在，请说明理由.
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