广东省阳江市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

更新时间：2022-12-22 浏览次数：32 类型：期中考试

一、单选题

1. (2022·茂名模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·湛江模拟) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 9 B . 3 C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. 已知定义在R上的奇函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 7 B . 10 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ 有且仅有一个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角是锐角，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高一下·郑州期中) 已知复数 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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7. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 的所有棱长都相等，D、E分别是BC、 $\text{[math]}$ 的中点，下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与DE是相交直线 D . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$

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8. (2022·通州模拟) 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分组，分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，方差分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . C的离心率为2 B . C的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . PM平分 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上可导，且 $\text{[math]}$ ，其导函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，对于函数 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为减函数 B . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极小值点 C . 函数 $\text{[math]}$ 必有 $\text{[math]}$ 个零点 D . $\text{[math]}$

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11. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 棱长为4，Q是 $\text{[math]}$ 上一动点，点H在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，在侧面 $\text{[math]}$ 内作边长为1的正方形 $\text{[math]}$ ， P是侧面 $\text{[math]}$ 内一动点，且点P到平面 $\text{[math]}$ 距离等于线段 $\text{[math]}$ 的长，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值得最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 当点P运动时， $\text{[math]}$ 的范围是 $\text{[math]}$

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12. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不同时为0）交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上的两动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022·兴化模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若至少存在两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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14. (2021高三上·嘉兴期末) 已知非零平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的模取值范围是.

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15. (2022高三上·湖北开学考) 阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 的切线方程为 $\text{[math]}$ ．若已知△ABC内接于椭圆E： $\text{[math]}$ ，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2022·浙江模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交该双曲线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ；若点 $\text{[math]}$ 在双曲线右支上，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 对于项数为 $\text{[math]}$ 的有穷数列 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中的最大值，称数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
1. （1）若各项均为正整数的数列 $\text{[math]}$ 的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的控制数列，满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）.证明： $\text{[math]}$ .
3. （3）考虑正整数 $\text{[math]}$ 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 $\text{[math]}$ .是否存在数列 $\text{[math]}$ ，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列 $\text{[math]}$ 的个数；若不存在，请说明理由.
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18. 某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取60名同学的成绩（百分制，均为正数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：
1. （1）求分数在 $\text{[math]}$ 内的频率，并补全这个频率分布直方图；
2. （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值；
3. （3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？
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19. 如图，在四面体ABCD中， $\text{[math]}$ 是正三角形， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ， AB=BD．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面ABC；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求m．
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20. (2022·湛江模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上､下焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，左､右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 是面积为8的正方形.
1. （1）求C的标准方程.
2. （2） M，N为C上且在y轴右侧的两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为P，试问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
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21. (2021·浙江) 如图，已知F是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求抛物线的方程；
2. （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 $\text{[math]}$ ，x轴依次交于点P ， Q ， R ， N ，且 $\text{[math]}$ ，求直线l在x轴上截距的范围.
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22. (2022高三上·河西期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个不相等的正数，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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