重庆市2023届高三上学期数学第四次质量检测试卷

更新时间：2022-12-22 浏览次数：57 类型：月考试卷

一、单选题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 的模 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的真子集个数为（）

A . 7 B . 8 C . 15 D . 16

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3. 已知直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相互平行，则实数m的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 6

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4. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 $\text{[math]}$ 的范围是： $\text{[math]}$ ，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个．

A . 240 B . 360 C . 600 D . 720

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ ，正实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若关于x的方程 $\text{[math]}$ 有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知点P为抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点，点Q为圆 $\text{[math]}$ 上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若 $\text{[math]}$ 的最小值为2，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 对于任意正整数 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 10 B . 12 C . 14 D . 16

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A . 数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B . 已知随机变量 $\text{[math]}$ 服从二项分布： $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的方差 $\text{[math]}$ C . 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个休，则每个个体被抽到的概率都是 $\text{[math]}$ D . 若样本数据 $\text{[math]}$ 的平均数为2，则 $\text{[math]}$ 的平均数为8

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，将函数 $\text{[math]}$ 图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数 $\text{[math]}$ ，且不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的一个零点 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . 方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上共有30个解

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 有三个不同的极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的极大值点 D . $\text{[math]}$

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12. 如图，过双曲线 $\text{[math]}$ 右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D， $\text{[math]}$ 分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若存在点P，使 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＝2，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的夹角是.

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14. 已知正项等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于A，B两点，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是单位向量，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ 成等比数列．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前30项和．
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18. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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19. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，a，b，c分别是 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C所对的边，外接圆周长为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求c；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 的面积为S，求S的取值范围．
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20. 《橙子辅导》是一款实景逃脱类游戏，密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为： $\text{[math]}$ ．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．
1. （1）若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．
2. （2）若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的范围；
3. （3）证明：当 $\text{[math]}$ ．
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）如图，过点 $\text{[math]}$ 作斜率 $\text{[math]}$ 的直线l交椭圆 $\text{[math]}$ 于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使 $\text{[math]}$ ，记四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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