江苏省常州市教育学会2022-2023学年高三上学期数学期中...

更新时间：2022-11-14 浏览次数：47 类型：期中考试

一、单选题

1. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在 $\text{[math]}$ 中，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 8 B . 12 C . 16 D . 20

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4. 如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若 $\text{[math]}$ 的展开式中含 $\text{[math]}$ 的项的系数为21，则a＝（）

A . －3 B . －2 C . －1 D . 1

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6. 设随机变量 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 没有零点的概率是0.5，则 $\text{[math]}$ （）
附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

A . 0.1587 B . 0.1359 C . 0.2718 D . 0.3413

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7. 如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值约为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和记为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的最大值，则k的可能值为（）

A . 5 B . 6 C . 10 D . 11

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10. 记 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（）

A . B的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 定义域均为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对任意实数x都成立，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 是周期函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 是偶函数 C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 中心对称 D . 函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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12. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K－三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则（）

A . 一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为 $\text{[math]}$ B . 一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为 $\text{[math]}$ C . 一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ D . 一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为．

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14. 已知正方体 $\text{[math]}$ 中，过点A作平面 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为H，则直线AH与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为．

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15. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

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16. 将数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为2，前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知两个变量y与x线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据这8个样本点求得的线性回归方程为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）．后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．（参考公式：线性回归方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）证明回归直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，并指出 $\text{[math]}$ 与3的大小关系．
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19. 记函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为T．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域．
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20. 甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）．
性别人数
参加考核但未能签约的人数
参加考核并能签约的人数
男生
45
15
女生
60
10
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为 $\text{[math]}$ ，通过乙地的各项程序的概率依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， m，其中0＜m＜1．
参考公式与临界值表： $\text{[math]}$ ， n＝a＋b＋c＋d．
$\text{[math]}$
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
1. （1）判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；
2. （2）若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．
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21. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在x＝0处的切线与 $\text{[math]}$ 在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，直线y＝m与函数 $\text{[math]}$ 的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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