广东省汕头市2023届高三上学期数学期中考试试卷

更新时间：2022-11-08 浏览次数：65 类型：期中考试

一、单选题

1. 设i是虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 已知M，N都是实数，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）条件．

A . 充分不必要 B . 必要不充分 C . 充要 D . 既不充分也不必要

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3. $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如 $\text{[math]}$ .我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 95 B . 145 C . 270 D . 520

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6. (2021高一下·惠州期末) 已知 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为O ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3， $\text{[math]}$ 底面A₁B₁C₁D₁ ，底面扇环所对的圆心角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长度为 $\text{[math]}$ 长度的3倍，且线段 $\text{[math]}$ ，则该“曲池”的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 5π C . $\text{[math]}$ D . 6π

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8. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 为奇函数且 $\text{[math]}$ 为偶函数，则下列结论一定正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的周期为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的周期为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2020高三上·江阴开学考) 给出下列命题，其中正确命题为（）.

A . 若样本数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ 的方差为2，则数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ 的方差为4 B . 回归方程为 $\text{[math]}$ 时，变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有负的线性相关关系 C . 随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 相关指数 $\text{[math]}$ 来刻画回归的效果， $\text{[math]}$ 值越大，说明模型的拟合效果越好

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10. 对于定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，如果存在区间 $\text{[math]}$ ，同时满足下列两个条件：① $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为增函数；②当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 值域也为 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“递增黄金区间”．下列函数中存在“递增黄金区间”的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有3个不同的零点 B . $\text{[math]}$ 的最小正周期可能是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增

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12. (2021·天河模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线C的方程为 $\text{[math]}$ B . 双曲线C的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为定值 D . 存在点P，使得 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 的展开式中常数项是．

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14. 已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象上的点，则 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最小距离为．

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15. 如图所示，已知点G是 $\text{[math]}$ 的重心，过点G作直线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两边于M，N两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. (2021高一下·高州期末) 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 的棱长均为2，点M是侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直的平面与侧面 $\text{[math]}$ 的交线为l，则直线l与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为．

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四、解答题

17. (2021高三上·珠海月考) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 均在斜率为 $\text{[math]}$ 的直线上. 数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 中去掉数列 $\text{[math]}$ 的项后，余下的项按原来的顺序组成数列 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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19. (2021高三上·珠海月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为长方形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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20. (2022高三上·保定期中) 新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.
1. （1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价 $\text{[math]}$ 成本）；
2. （2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为 $\text{[math]}$ .已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当 $\text{[math]}$ 时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，半焦距为1，以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆恰好过椭圆 $\text{[math]}$ 的上、下顶点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若关于直线 $\text{[math]}$ 对称的射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别与椭圆 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 轴上方的部分交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求证：直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 轴上一定点.
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22. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，
（i）证明 $\text{[math]}$ 恰有两个零点
（ii）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的零点，且 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

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