江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期数学第一次考试...

更新时间：2022-09-30 浏览次数：68 类型：开学考试

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是互相垂直的单位向量，则与向量 $\text{[math]}$ 垂直的一个单位向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为 $\text{[math]}$ .因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）

A . 38680千米 B . 39375千米 C . 41200千米 D . 42192千米

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5. 已知关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . －4 B . 4 C . 5 D . 8

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6. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交准线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为30°，则点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为（）

A . 3 B . 2 C . 1 D . $\text{[math]}$

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7. (2022高三上·湖北开学考) 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（）

A . 事件A发生的概率 B . 事件B发生的概率 C . 事件B不发生条件下事件A发生的概率 D . 事件A、B同时发生的概率

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A . 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B . 已知一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的方差为2，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的方差为2 C . 具有线性相关关系的变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，若样本点的中心为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . 将 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到的函数图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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11. 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的外接球体积为 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体所得的截面是四边形

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12. 已知 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当数列 $\text{[math]}$ 单调递增时， $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为.

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14. 已知角 $\text{[math]}$ 的顶点在坐标原点 $\text{[math]}$ ，始边与 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴重合，将角 $\text{[math]}$ 的终边绕 $\text{[math]}$ 点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后，经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若函数 $\text{[math]}$ 的图象经过四个象限，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 及其渐近线围成的平面图形 $\text{[math]}$ 如图所示.若将图形 $\text{[math]}$ 被直线 $\text{[math]}$ 所截得的两条线段绕 $\text{[math]}$ 轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 $\text{[math]}$ ；若将图形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 轴旋转一周，则形成的旋转体的体积 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 从① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， ____.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
  注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
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18. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）

首选志愿为师范专业
首选志愿为非师范专业
女性
25
35
男性
5
25
附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$\text{[math]}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1. （1）根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
2. （2）用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列、数学期望 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$ .
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20. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.
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21. 设 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴不重合的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在异于 $\text{[math]}$ 的定点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为定值（其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率）？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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