湖南省湘潭市2022-2023学年高三上学期数学入学摸底考试...

更新时间：2022-09-30 浏览次数：56 类型：开学考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . {1} B . {-1} C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . i

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3. 若函数 $\text{[math]}$ 的图象由函数 $\text{[math]}$ 的图象经过以下变换得到的，则该变换为（）

A . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 B . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 C . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 D . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

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4. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 的侧棱和底面边长均为 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产 $\text{[math]}$ 规格的芯片，现有 20 块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块，且乙生产该芯片的次品率为 $\text{[math]}$ ，现从这 20 块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为 $\text{[math]}$ ，则甲厂生产该芯片的次品率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义 $\text{[math]}$ 是函数零点近似解的初始值，在点 $\text{[math]}$ 的切线为 $\text{[math]}$ ，切线与 $\text{[math]}$ 轴交点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ．应用上述方法，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . -3 B . -2 C . -1 D . 0

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 是周期函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 是其定义域上的减函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 是其定义域上的减函数 C . 函数 $\text{[math]}$ 是其定义域上的增函数 D . 函数 $\text{[math]}$ 是其定义域上的增函数

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11. 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，若线段 $\text{[math]}$ 的中点是 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，已知圆锥顶点为 $\text{[math]}$ ，其轴截面 $\text{[math]}$ 是边长为 6 的为正三角形， $\text{[math]}$ 为底面的圆心， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的一条直径，球 $\text{[math]}$ 内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点 $\text{[math]}$ 是球 $\text{[math]}$ 与圆锥侧面的交线上一动点，则（）

A . 圆锥的表面积是 $\text{[math]}$ B . 球 $\text{[math]}$ 的体积是 $\text{[math]}$ C . 四棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 设关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值等于．

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14. 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的所有可能取值的个数是．

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15. 某灯泡厂对编号为 $\text{[math]}$ 的十五个灯泡进行使用寿命试验，得到奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为 1580 ，方差为 15000 ，偶数号灯泡的平均使用寿命为 1580 ，方差为 12000 ，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为．

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16. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，若以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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四、解答题

17. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，其前 $\text{[math]}$ 项和是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求使得 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 中的项的 $\text{[math]}$ 的取值集合．
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18. 设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为钝角，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系并证明你的结论；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. 如图，在四棱椎 $\text{[math]}$ 中，已知四边形 $\text{[math]}$ 是梯形， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正三角形．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当四棱锥 $\text{[math]}$ 体积最大时，求：
  ①点A到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
  ②平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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20. 湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答 “满意” 的 “工薪族”人数是40人，回答 “不满意” 的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是 40人，回答“不满意” 的 “非工薪族”人数是10人．
附：
$\text{[math]}$
0.050
0.010
0.005
$\text{[math]}$
3.841
6.635
7.879
参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）请根据以上数据填写下面 $\text{[math]}$ 列联表，并依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联?
  
  满意
  不满意
  合计
  工薪族
  非工薪族
  合计
2. （2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过 $\text{[math]}$ ，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到 $\text{[math]}$ 时，抽样结束.记此时抽样次数为 $\text{[math]}$ ．
  (i) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
  (ii) 请写出 $\text{[math]}$ 的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明 $\text{[math]}$ 的数学期望的实际意义．
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21. 如图所示，已知 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，且它们的斜率之积 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上（不同于 $\text{[math]}$ ）一定点，若过点 $\text{[math]}$ 的动直线与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 两点，求证： $\text{[math]}$ 的充要条件为 $\text{[math]}$ ．
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22. 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在定义域上单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在两个不同的零点 $\text{[math]}$ ．
  ① 求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ② 证明： $\text{[math]}$ ．
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